12. Линейные операции над векторами. Сложение векторов, его свойства.

1

. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором и обозначается . Вектор называется вектором, противоположным вектору .

2. Длиной вектора называется число, равное длине отрезка АВ, соединяющего точки А и В. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

3. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

4. Два коллинеарных вектора называются одинаково (противоположно) направленными, если их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, или от общего начала.

5. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые длины и одинаково направлены. Все нулевые векторы считаются равными.

Здесь .

6. Произведением вектора на число α или числа α на вектор называется вектор, длина которого равна , а направление совпадает с направлением вектора , если α > 0, или противоположно направлению вектора , если α < 0.

Сумма двух векторов находится по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

7 (правило треугольника). Суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , расположенного таким образом, что его начало совпадает с концом вектора .

8 (правило параллелограмма). Суммой векторов и называется вектор , являющийся диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Вычитание векторов – операция, обратная операции сложения.

9. Разностью векторов и называется такой вектор , при сложении которого с вектором получается вектор .

Несколько векторов складываются по правилу замыкания цепочки:

12. Уравнение 1-ой степени на плоскости. Общее уравнение прямой, частные случаи.

Прямой линией на плоскости называется множество всех точек М(х;у), координаты которых удовлетворяют уравнению , где А, В, С – заданные числа, причем А и В не равны нулю одновременно. Уравнение (4.1) называется общим уравнением прямой на плоскости. Пусть точка лежит на прямой, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению . Вычитая это равенство из (4.1), получим . Пусть вектор .Поскольку вектор , (4.2) можно записать с помощью скалярного произведения векторов и в виде . Отсюда следует, что векторы и перпендикулярны. Вектор лежит на данной прямой, поэтому вектор перпендикулярен этой прямой. Таким образом, мы получили геометрический смысл коэффициентов А и В общего уравнения прямой на плоскости (4.1): коэффициенты А и В общего уравнения прямой на плоскости – это координаты вектора, перпендикулярного данной прямой. Поэтому уравнение (4.2) – это уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору .

Уравнения и иногда называют неполными уравнениями прямой.

Если С = 0, то получаем уравнение , которое проходит через начало координат, так как координаты точки О(0;0) удовлетворяют этому уравнению.

Пусть теперь . Преобразуем уравнение (4.1) следующим образом:

, где . Это уравнение прямой, которое имеет специальное название.

2. Уравнение прямой вида называется уравнением прямой в отрезках. Уравнение прямой в отрезках удобно при построении прямой, так как прямая, очевидно, проходит через точки (а;0) и (0;b) осей координат, т.е. отсекает на осях координат соответствующие отрезки.