25 Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности.

Дана плоскость   и точка А вне этой плоскости.

Проекцией точки А на плоскость   называется основание Q перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Пусть а — произвольная прямая, пересекающая плоскость   в точке О, причем прямая а не перпендикулярна плоскости   (рис. 40).

Прямая а и перпендикуляр AQ (А € а) определяют плоскость  ,   _|_  .

Прямая a₁, проходящая через точки О и Q, называется проекцией а на плоскость  .

Углом между прямой а и плоскостью  , пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой а и ее проекцией a₁ на плоскость   (рис. 40).

Если прямая а перпендикулярна плоскости  , то ее проекцией на плоскость представляет собой точку О, а угол между а и   считается прямым (равным 90°).

Если прямая а параллельна плоскости  , то угол между ними принимают равным нулю.

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде , необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.     

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

  

26 Деление отрезка в данном отношении. Координаты середины отрезка.

Если x₁ и y₁ - координаты точки A, а x₂ и y₂ - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении  , определяются по формулам

Если  , то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам

27 Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости.

Условие принадлежности прямой плоскости

Пример 11.5   Найдите точку пересечения прямой   и плоскости   .

Решение. Прямая задана каноническими уравнениями. Им соответствует система уравнений

В результате для нахождения точки пересечения прямой и плоскости получаем систему уравнений

Для ее решения можно предложить следующий путь. Из первого уравнения выражаем   через   :   . Из второго --   через   :   . Найденные выражения для   и   подставляем в третье уравнение и находим   . Находим   и   :   ,   .

Ответ:   .         

29 Уравнение 2-ой степени на плоскости. Окружность

Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат.

Окружность-множество

точек, равно удалённых от данной точки (центра). Если обозначить через R радиус окр., а через С(x0,y0) –центр окружности