3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

Геометрический смысл модуля: – расстояние от точки 0 до точки на числовой прямой. Модуль называют еще абсолютной величиной.

Аналитически его определяют так: .

Если под знаком модуля стоит неотрицательное выражение, то знак модуля можно опустить и выражение, стоящее под знаком модуля, записать без изменения. Если под знаком модуля стоит отрицательное выражение, то знак опустив модуля, выражение, стоящее под знаком модуля, взять в скобки и перед ним поставить знак «минус».

Основные свойства модуля:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. .

Используя геометрический смысл модуля и его определение получают способы решения уравнений с модулем.

I тип уравнений

, где число

1. если , то решений нет;

2. если , решаем уравнение ;

3. если , решаем совокупность уравнений: .

II тип уравнений

(2), где некоторые выражения с переменной. Решать это уравнение можно несколькими способами:

1–й способ – используя определение модуля:

2–й способ – используя подход как к уравнениям I типа:

Замечание: 1–й и 2–й способ в решении таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое неравенство или решается легче.

3–й способ – метод интервалов:

1) находим критические точки: ;

2) наносим полученные значения на числовую ось ;

3) определяем знаки для каждого из полученных интервалов;

4) рисуем кривую знаков;

5) решаем уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) ОДЗ. Если это не вся числовая ось, учитываем сразу на рисунке после того как нарисовали кривую знаков.

III тип уравнений

Уравнения содержат несколько модулей: , (3), где .

1–й способ – можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков , . Этот способ, как правило, не является рациональным.

2–й способ – метод интервалов: рисуем столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении.

IV тип уравнений , (4), где .

1–й способ – решаем совокупность уравнений: .

2–й способ – метод интервалов.

₃–й способ – используя теорему равносильности: если обе части уравнения , где при всех значениях из области определения, возвести в одну и ту же натуральную степень , то получится уравнение , равносильное данному. Поэтому уравнение (4) равносильно уравнению: Далее используем свойство квадрата модуля:

V тип уравнений Это уравнения, решаемые заменой переменной. Например: , (5)

4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Опр. |f(x)|=f(x), x>0 – модуль функции. –f(x), x<0

а , если а ≥ 0, – модуль числа

Определение: l а l=

–а, если а<0.

Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля