1. Основные соотношения между элементами треугольника

Т реугольником называется многоугольник с тремя углами (и с тремя сторонами).

Стороны и углы треугольника считаются основными элементами треугольника.

Треугольник полностью определяется любой из следующих троек своих основных элементов: либо тремя сторонами, либо одной стороной и двумя углами, либо двумя сторонами и углом между ними.

Для существования треугольника, задаваемого тремя сторонами a,b,c, необходимо и достаточно выполнение неравенств, называемых неравенствами треугольника:

a+b>c, a+c>b, b+c>a

Для существования треугольника, задаваемого стороной a и углами α,β, необходимо и достаточно выполнение неравенства α+β<180∘, а для существования треугольника, задаваемого сторонами b,c и углом γ между ними, необходимо и достаточно выполнение неравенства γ<180∘

В качестве тройки элементов, однозначно определяющих треугольник, можно выбирать и другие наборы элементов.

Не любая тройка основных элементов треугольника однозначно задает треугольник. Так, например, задавая три угла треугольника α,β,γ (они не являются независимыми и связаны между собой равенством α+β+γ=180^∘), можно построить сколь угодно много не равных треугольников с углами α,β,γ (эти треугольники подобны).

Соотношения между сторонами и углами треугольника:

1) Против большей стороны лежит больший угол.

2) Против большего угла лежит большая сторона.

3) Против равных сторон лежат равные углы, и, обратно, против равных углов лежат равные стороны.

Соотношение между внутренними и внешними углами треугольника:

Сумма двух любых внутренних углов треугольника равна внешнему углу треугольника, смежного с третьим углом.

Стороны и углы треугольника связаны между собой также соотношениями, называемыми теоремой синусов и теоремой косинусов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника (a) равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (b и c), минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла (α) между ними.

Доказательство:

Р ассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует: ,

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и: или

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному. ч.т.д

Теорема синусов:

Для произвольного треугольника где a, b, c — стороны треугольника, α, β, γ — соответственно противолежащие им углы, а R — радиус описанной около треугольника окружности.

Доказательство:Д остаточно доказать следущие положения:

Проведем диаметр | BG | для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол прямой и угол при вершине G треугольника равен либо α, если точки A и G лежат по одну сторону от прямой BC, либо π - α в противном случае. Поскольку sin(π - α) = sinα, в обоих случаях a = 2Rsinα. Повторив тоже рассуждение для двух других сторон треугольника получаем: ч.т.д Площадь треугольника S может быть вычислена по формулам: S=1/2ah=√p(p−a)(p−b)(p−c)= absinγ/2=abc/4R=pr