16. Вневписанная окружность.

Опр1. Окружность, касающаяся одной стороны треугольни­ка и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью.

На рис. окружность касается стороны ВС(а) треугольника АВС и продолжений его сторон АС(b) и АВ(с). Центр окружности часто обозна­чают I_а (окружность касается стороны а), а радиус — r_а .

T 1. Центр вневписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис двух внешних углов и внутренне­го угла треугольника, лежащего против стороны касания с окружностью. Дано: ∆АВС, Доказать: существует I_а — точка пересечения биссектрис углов CAB, МСВ, NBC, где М АС, МС + СА = AM , N АВ и NB + ВА = NA . Доказательство: 1) Проведем биссектрису угла CAB. Тогда любая ее точка равноудалена от сторон АС и АВ угла. 2) Проведем биссектрису угла МСВ. Точка I_а пересечения этой бис­сектрисы и биссектрисы угла CAB равноудалена от стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Значит, точка I_а лежит на биссектрисе угла CBN. 3) Таким образом, I_а — точка пересечения биссектрисы внутреннего угла CAB и двух биссектрис внешних углов МСВ и NBC треугольни­ка AВС.

Если . 

T 2. Точка касания вневписанной окружности треугольника делит его периметр пополам. Дано: ∆ABC, I_а — центр вневписанной окружности, I_аК — радиус вневписанной окружности, проведенный в точку касания со стороной ВС. Доказать: АС + СК = АВ + ВК. Доказательство. AT = АР, СТ = СК , ВК = BP как отрезки касательных, проведен­ные из одной точки. 2АТ = АТ + АР = AC + СТ + АВ + BP = =AC + CK + AB + BK = 2P,где P — полупериметр ∆ ABC . Значит, AT = P, но AT = AC + CT = = AC + CK = P. Таким образом, AC + CK = P = = AB + BK, т.е. точка К касания вневписанной окружности треугольника делит его периметр пополам. Для любого треугольника можно построить три вневписанные окруж­ности.

Т3. Площадь S треугольника АВС равна . Док-во: 

17. Основные виды четырехугольников, их св-ва и признаки

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (S =d₁d₂ sinα ) и невыпуклые.

Виды четырёхугольников

Параллелограмм S = ah_a= ab sinα=d₁d₂ sinα

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

• противолежащие стороны равны;

• противоположные углы равны;

• диагонали точкой пересечения делятся пополам;

• сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: d₁²+d₂²=2(a²+b²).

Признаки параллелограмма

• Четырехугольник является параллелограммом, если:

• Две его противоположные стороны равны и параллельны.

• Противоположные стороны попарно равны.

• Противоположные углы попарно равны.

• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапеция S = (a+b)h/2

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольник S = ab=d₁d₂ sinα

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника все свойства параллелограмма; диагонали равны.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если: Один из его углов прямой. Его диагонали равны.

Ромб S = ah_a= a²sin α=d₁d₂

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба все свойства параллелограмма; диагонали перпендикулярны; диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом, если:

Две его смежные стороны равны.

Его диагонали перпендикулярны.

Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат S = a²=d²

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

все углы квадрата прямые; диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.