26. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства

Каждое уравнение вида f(x;a)=0 можно рассмотреть как уравнение с 2-мя параметрами. Решить такое уравнение – это значит найти такие пары (x;a), которые удовлетворяют данному уравнению. Таким образом уравнение f(x;a)=0 можно рассмотреть как уравнение с 2-мя параметрами (х) и (а). если а – фиксированное значение, то уравнение f(x;a)=0 можно рассматривать как уравнение с одной переменной (х).

Если для каждого значения а из некоторого множества А решить уравнение f(x;a)=0 относительно х, то это уравнение называется уравнением с переменной х и параметром а. множество А – область значения параметра.

Если про множество А ничего не сказано, то а принадлежит R и нужно найти те значения а, при переходе через которые происходят качественные изменения уравнений. Эти значения называются контрольные. Решить уравнение с параметром – значит найти такие контрольные значения, при переходе через которые существенно меняются корни уравнения.

• Аналитический метод решения

• Функциональный и графический (для уравнений и неравенств)

• Полное или комбинированное использование свойств функций и их свойств(для неравенств)

При решении зад с параметрами часто удобно пользоваться графиками входящих в уравнение ф-ий или непосредственно графиком уравнения.

В первом случае мы строим графики в системе хОу а во втором хОа. Особенно удобен такой подход в зад гдг не требуется непосредственно реш ур-ие (или нер-во), а просто надо ответить сколько корней

Пример: для любых значений параметра а опред кол-во корней |x²-2x-3|=a

y= |x²-2x-3|; y=a

Для ответа на вопрос построим в системе координат хОу графики левой и правой частей уравнения…

27. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств

обобщённый метод интервалов

Данный способ наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Схема решения выглядит следующим образом:

1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция , а в правой 0.

2. Найти область определения функции

3. Найти нули функции , то есть – решить уравнение (а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство)

4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.

5. Определить знаки функции на полученных интервалах.

6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения и записать ответ.

(В основе этого метода лежит следующее свойство двучлена (х – а): точка а делит числовую ось на две части — справа от точки а двучлен (х – а) положителен, а слева от точки а — отрицателен.

Пусть требуется решить неравенство

(х – а1)(х - a2) ...(x - an) >0, (1)

где а1, a2, …, an-1, an — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что а1<а2<...<аn-1<аn

Рассмотрим многочлен

P(x) = (x-a1)(x-a2)...(x-an) (2)

Для любого числа х0 такого, что х0 > аn, соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении (2) положительно, а значит, Р(х0) > 0. Для любого числа x1, взятого из интервала (аn-1, an) соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя (x - an), положительное, поэтому число Р(х1) < 0 и т. д.

На этом рассуждении и основан метод интервалов, состоящий в следующем: на числовую ось наносят числа a1, а2, ..., аn; в промежутке справа от наибольшего из них, то есть числа an, ставят знак плюс, в следующем за ним справа налево интервале ставят знак минус, затем — знак плюс, затем — знак минус и т. д. Тогда множеством всех решений неравенства (1) будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак плюс, а множеством решений неравенства

(х – а1)(х - a2) ...(x - an)<0, (3)

где а1 < а2 < ... < аn, будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак минус.)