![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Рациональные уравнения и методы их решения
- •Методы их решения
- •Функциональные методы
- •2. Рациональные неравенства и методы их решения
- •Алгебраические неравенства.
- •3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
- •Основные свойства модуля:
- •I тип уравнений
- •II тип уравнений
- •III тип уравнений
- •4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
- •1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
- •5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
- •6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
- •7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
- •Совокупности уравнений
- •8. Системы и совокупности неравенств
- •Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- •9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
- •10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- •11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
- •12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- •13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
- •14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- •15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- •2. Способ замены.
- •3. Разложение на множители.
- •4. Однородные тригонометрические уравнения вида
- •5. Универсальная замена.
- •16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- •17. Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции
- •18. Метод интервалов при решении тригонометрических неравенств
- •19. Графики функций и уравнений. Основные преобразования графиков функций
- •1) Область определения функции и область значений функции.
- •3) Пересечение с осями коорд.
- •6) Точки экстремума
- •7) Периодическость функции.
- •21. Основные тригонометрические функции и их св-ва
- •22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
- •24. Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
- •25. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
- •26. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- •27. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
- •Основные соотношения между элементами треугольника
- •2. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
- •3.Медиана треугольника. Теоремы связанные с медианами треугольника. Формулы для нахождения медиан
- •4.Биссектриса треугольника. Теоремы связанные с биссектрисами треугольника. Формулы для нахождения биссектрис
- •5. Метод площадей.
- •6.Теорема Чевы
- •7.Теорема Менелая
- •8. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
- •9.Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд
- •Свойства хорд
- •10. Свойства секущих и касательных к окружности.
- •11. Измерение углов, связанных с окружностью
- •12. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
- •13. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
- •14. Прямая Эйлера
- •15. Окружность Эйлера
- •16. Вневписанная окружность.
- •17. Основные виды четырехугольников, их св-ва и признаки
- •18. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
- •19. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
- •20. Теорема Пифагора для четырехугольников.
- •21. Теорема Птолемея.
- •1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
- •2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
- •3.Методы построения сечений многогранников.
- •5.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- •Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.Использование параллельности для построения сечений многогранников.
24. Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
Опр. Если для каждого значения а ∊ А решить уравнение F(x;a)=0 относительно x,то это уравнение наз. уравнение с переменной х и параметром а.(множество А-область значения параметра. Если про множество А ничего не сказано ⇨ а ∊ R ,и можно найти все значения a,при переходе через которой произошло качественное изменение - наз. контрольными. Каждое уравнение вида F(x;a)=0 можно рассматривать как уравнение с параметром. Решить уравнение с параметром означает, для каждого допустимого значения параметра найти множество решений уравнения ,или доказать что решений нет.
Линейное уравнение в зависимости от значения параметра а могут иметь: 1) единственное решение 2) бесконечно много решений 3) не иметь решений.
Для того, чтобы решить уравнение с параметром необходимо:
1)определить тип уравнения.
2)привести уравнение к стандартному виду.
3)исследовать решение уравнения, согласно с теорией решения уравнения определенного вида.
Основными методами решения с параметрами является: аналитический , графический (функциональный) и комбинированный.
Cтандартный вид: ax+b=0 (1)
1)когда
а≠0,то единственный корень х=
2)когда
3)когда
⇨
решений нет
Пр1. 1+x=ax (аналитический метод)
x-ax=-1
x(1-a)=-1
н.з : a=1 0·x=-1 ·Ø
a
x
Ответ
:
при a=1,
x
25. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
Опр. Если для каждого значения а ∊ А решить уравнение F(x;a)=0 относительно x,то это уравнение наз. уравнение с переменной х и параметром а.(множество А-область значения параметра. Если про множество А ничего не сказано ⇨ а ∊ R ,и можно найти все значения a,при переходе через которой произошло качественное изменение - наз. контрольными. Каждое уравнение вида F(x;a)=0 можно рассматривать как уравнение с параметром. Решить уравнение с параметром означает, для каждого допустимого значения параметра найти множество решений уравнения ,или доказать что решений нет.
Линейное уравнение в зависимости от значения параметра а могут иметь: 1) единственное решение 2) бесконечно много решений 3) не иметь решений.
Для того, чтобы решить уравнение с параметром необходимо:
1)определить тип уравнения.
2)привести уравнение к стандартному виду.
3)исследовать решение уравнения, согласно с теорией решения уравнения определенного вида.
Основными методами решения с параметрами является: аналитический , графический (функциональный) и комбинированный.
Уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где х — неизвестное, а, b ,с — выражения, которые зависят лишь от параметров и а ≠ 0, называется квадратным уравнением с параметрами.
Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых а, b и с — действительные числа. В связи с необходимостью выполнения условия а ≠ 0 в квадратных уравнениях приходится разбивать решение на несколько этапов уже на первом шаге.
Пример 1. Решить уравнение (а+1)х2+2ах+а-2=0.
Решение
Поскольку коэффициент при х2(а + 1) может быть как числом, которое не равняется нулю, так и числом, которое равняется нулю, то уже из первого шага нам придется рассмотреть два случая:
а+ 1=0 и а+ 1 ≠ 0.
Если а+ 1=0 (а = –1), то заданное уравнение превращается в уравнение -2х - 3 = 0, которое имеет единый корень х= -3/2.
Если а + 1≠0 (а ≠ –1), то получаем квадратное уравнение, дискриминант которого D=4(a+2) .
Дальше мы не можем однозначно продолжать решения, так как оно существенным образом зависит от знака дискриминанта. Поэтому приходится рассматривать три случая: D < 0, D = 0, D > 0. Как известно, при D < 0 (а < – 2) квадратное уравнение корней не имеет; при D = 0 (а = – 2) оно имеет два равных корня: x1=x2=-2 ; при D > 0 (а > – 2, но а ≠ – 1) квадратное уравнение имеет два разных корня, которые записываются за общими формулами.
Подадим все эти соображения в виде схемы 1.
Схема 1
Ответ. 1) при а = – 1 ;
2) при а = – 2 х= – 2;
3) при а < -2 корней нет;
4) при – 2 < а<– 1 или при а > – 1 , .