5. Метод площадей.

Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей – из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя все к решению уравнения (а иногда системы уравнений).

Можно выделить 2 направления этого метода:

1. Метод сравнения: связан с большим кол-вом формул S одних и тех же фигур

2. Метод отношения S: основан на след опорных задачах:

6.Теорема Чевы

Пусть точки A',B',C' лежат на прямых BC,CA,AB треугольника . Прямые AA',BB',CC' пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Обозначим через точку пересечения отрезков и . Опустим из точек С и А перпендикуляры на прямую ВВ₁ до пересечения с ней в точках K и L соответственно (см. рисунок).

П оскольку треугольники и имеют общую сторону , то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. AL иCK :

Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники и подобны по острому углу.

Аналогично получаем и

Перемножим эти три равенства:

что и требовалось доказать.

Замечание. Отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Теорема (обратная теорема Чевы). Пусть точки A',B',C' лежат на сторонах BC,CA и AB треугольника ABC соответственно. Пусть выполняется соотношение

Тогда отрезки AA',BB',CC' и пересекаются в одной точке.

7.Теорема Менелая

Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник ABC, причем C₁ – точка ее пересечения со стороной AB, A₁ – точка ее пересечения со стороной BC, и B₁ – точка ее пересечения с продолжением стороны AC. Тогда

Доказательство. Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через K ее точку пересечения с прямой B₁C₁.

Треугольники AC₁B₁ и CKB₁ подобны (∟C₁AB₁= ∟KCB₁, ∟AC₁B₁= ∟CKB₁). Следовательно,

Треугольники BC₁A₁ и CKA₁ также подобны (∟BA₁C₁= ∟KA₁C, ∟BC₁A₁= ∟CKA₁). Значит,

Из каждого равенства выразим CK:

Откуда что и требовалось доказать.

Теорема (обратная теорема Менелая). Пусть дан треугольник ABC. Пусть точка C₁ лежит на стороне AB, точка A₁ – на стороне BC, а точка B₁ – на продолжении стороны AC, причем выполняется соотношение

Тогда точки A₁,B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

8. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.

Т. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА. Пусть Т— прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 6, а). Докажем, что с2=а2+b2.

Построим квадрат Q со стороной а+b (рис. 6, б). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоуголь­ные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 с катетами а и b. Четырех­угольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р – квадрат со стороной с.

Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4  равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т.е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.

Пусть a и b— величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, a+b= 90°. Угол у при вершине А четырехугольника Р  вместе с углами, равными a и b, состав­ляет развернутый угол. Поэтому a+b=180°. И так как a+b= 90°, то g=90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следователь­но, четырехугольник Р — квадрат со стороной с.

Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треуголь­нику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T) .

Так как S(Q)=(a+b) ² ; S(P)=c² и S(T)=1/2(ab), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство

(a+b) ²=c²+4*(1/2)ab . Поскольку (a+b)²=a²+b²+2ab, то равенство (a+b)²=c²+4*(1/2)ab мож­но записать так: a²+b²+2ab=c²+2ab.

Из равенства a²+b²+2ab=c²+2ab следует, что с²=а²+b².

Теорема (обобщенная теорема Пифагора).

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. Рассмотрим какие-то три сходственных отрезка в треугольниках ABC, ACD и CBD (CD - высота в ABC). Обозначим их через l_c, l_b и l_a соответственно. Тогда справедливо равенство .

Доказательство. Как мы знаем, треугольники ABC, ACD и CBD (рис. 1) подобны. Согласно свойству подобных треугольников, любые два соответственных отрезка в них относятся одинаково.

Это означает, что (рис. 1). Обозначим каждую из дробей через k. Тогда l_c=kc, l_b = kb, l_a = ka. И если мы теперь в равенстве c² = b² + a² умножим обе части почленно на k², то получим .