19. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники

Четырехугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около окружности, а окружность - вписанной в этот ч етырехугольник

Теорема 3. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны. Для доказательства этой теоремы воспользуемся теоремой из темы круг и окружность, которая гласит: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, т.е. ВК=ВР, СР=СН, DH=DT и АТ=АК. Суммируем стороны АВ и CD: AB+CD=(AK+KB)+(DH+HC)=AT+BP+DT+CP=(AT+TD)+(BP+PC)=AD+BC, ч.т.д.

• В паралелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

• Если трапеция описана около окружности, то концы боковой стороны и центр окружности являются вершинами прямоугольного треугольника

Т э а р э м а (аб акружнасці, упісанай у правільны многа- вугольнік). У любы правільны многавугольнік можна ўпі- саць акружнасць, і прытым толькі адну.

Дадзена: А₁А₂А₃…А_п — правільны многавугольнік.

Даказадь: існуе пункт, роўнааддалены ад прамых, якія змяшчаюць стораны многавугольніка. Ён адзіны.

Доказ. 1. Дакажам існаванне. Няхай О — цэнтр акружнасці (рыс.

1. У ходзе доказу папярэдняй тэарэмы мы вызначылі, што

таму вышыні гэтых трохвугольнікаў, праведзеныя з вяршыні О, таксама роўныя: ОН₁ = ОН₂ = ... = ОН_п.

2) Адсюль вынікае, што акруж- насць з цэнтрам О і радыусам ОН₁ праходзіць праз пункты Н₁,

Н_{2 ,} ... Н_n і датыкаецца да старон многавугольніка ў гэтых пудктах, значыць, акружнасць упісана ў разглядваемы мно- гавугольнік.

2. Дакажам адзінкавасць. Дапусцім, што побач з акруж- насцю ω (О, ОН₁) ёсць і другая акружнасць, упісаная ў мно- гавугольнік А₁А₂... А_n. Тады яе цэнтр О₁ роўнааддалены ад старон многавугольніка, г. зн.пункт О₁ ляжыць на кожнай з бісектрыс вуглоў многавугольніка і, такім чынам, супадае з пунктам О перасячэння гэтых бісектрыс. Радыус гэтай акружнасці роўны адлегласці ад пункта О да старон многа- вугольніка, г. зн. роўны ОН₁. Такім чынам, другая акруж- насць супадае з першай.

Вынік 1. Акружнасць, упісаная ў правільны многавугольнік, датыкаецца да старон многавугольніка ў іх сярэдзінах.

Вынік 2. Цэнтр акружнасці, апісанай каля правільнага многавугольніка, супадае з цэнтрам акружнасці, утіісанай у той жа многавугольнік.

Гэты пункт называюць цэнтрам правільнага многавугольніка.

20. Теорема Пифагора для четырехугольников.

Если в четырехугольнике со сторонами a, b, c, d и диаганалями m и n сумма двух противоположных углов (ψ+φ)= 90⁰, тогда (mn)²= (ac)²+ (bd)².

Докозательство:

По теореме косинусов для четырехугольников (mn)²= (ac)²+ (bd)²- 2abcd(ψ+φ)

Т.к. по усл (ψ+φ)= 90⁰, а cos90=0, то (mn)²= (ac)²+ (bd)²

Ч.т.д

21. Теорема Птолемея.

Если четырехугольник можно вписать в окружность то произведение его диагоналей равно сумме произведения его противоположных сторон. Отметим на AC точку M такую, что ABM = DBC. Т. к. вписанные углы BDC и BAC опираются на одну и ту же хорду BC, они тоже равны друг другу. Таким образом, треугольники BDC и BAM подобны, а значит, CD/BD = MA/BA, или, перемножая крест на крест, MA ∙ BD = AB ∙ CD. В то же время ABD = MBC (т. к. ABM = DBC), а BCA = BDA, как опирающиеся на одну хорду AB. Значит, AD/BD = MC/BC, или, перемножая крест на крест, MC ∙ BD = AD ∙ BC. Складывая почленно равенства MA ∙ BD = AB ∙ CD и MC ∙ BD = AD ∙ BC, получаем (MA + MC) ∙ BD = AB ∙ CD + AD ∙ BC, или AC ∙ BD = AB ∙ CD + BC ∙ AD, что и требовалось доказать.