16. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа для давления. Следствие из основного уравнения молекулярно-кинетической теории.

Рассмотрим одноатомный идеальный газ, предположив, что молекулы движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, удары абсолютно упругие.

Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку ΔS.

При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает импульс

m0⋅v– (–m0⋅v) = 2m0⋅v,

где m0– масса молекулы, v– ее скорость.

За время Δt площадки ΔS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием ΔS и высотой v⋅Δt. Число их равно  n⋅ΔS⋅v⋅Δt, где n– концентрация молекул.

Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлениях так, что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 часть всех молекул, причем половина из них движется в одну сторону, а половина – в обратную сторону. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении и ударяющихся о площадку ΔS, будет равно

При столкновении все они передают импульс

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда

Если газ в объеме V содержит N молекул, которые двигаются со скоростями v1, v2, …, vn, то рассматривают среднюю квадратичную скорость

которая характеризует всю совокупность молекул газа, тогда

Выражение (3) – это основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Учитывая, что  n = N / V, получим

где E– суммарная кинетическая энергия всех молекул. Т.к. масса  m = m0⋅N, то можно записать

Сравним с уравнением Менделеева-Клапейрона, получим:

или, зная, что  μ = m0⋅NAиR = k⋅NA, получим

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа

При температуре равной 0 К средняя энергия равна нулю, следовательно давление тоже равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа, и формула (8) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры

17. Скорости газовых молекул. Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям. Наиболее вероятная ,средняя квадратичная и средняя арифметическая скорости молекул.

E_пост=(m₀V_кв)\2=3\2кТ; V_кв= = В молекулярном пучке имеются молекулы со всевозможными скоростями, как с маленькими так и с очень большими. Несмотря на полную хаотичность движения газ молекул и случайный хар-р столкновения их м\у собой распределение их по скоростям является не случайным,а вполне определенным. В состоянии т\д равновесия распределение молекул данного газа по скоростям является однозначным и единственно возможным,молекулы равномерно распределяются по направлениям скоростей и импульсов и статически по значениям скоростей и импульсов.

Закон распределения молекул идеального газа по скоростям (закон Максвелла) определяет вероятное количество dN молекул из полного их числа N (число Авогадро) в данной массе газа, которые имеют при данной температуре Т скорости, заключенные в интервале от V до V + dV: dN/N=F(V)dV F(V) - функция распределения вероятности молекул газа по скоростям определяется по формуле; F(V)=4π(M/2πRT)^3/2 V² exp(MV²/2RT) где V - модуль скорости молекул, м/с; - абсолютная температура, К;М - молярная масса, кг/моль.R = 8,3144 Дж/(моль•К) - универсальная газовая постоянная в системе СИ.

V_B= = ; V= = ; V_кв= = Распределение Максвелла позволяет определить несколько средних скоростей: наиболее вероятную скорость, среднюю арифметическую скорость и среднюю квадратичную скорость.

Скорость , соответствующая максимуму плотности вероятности , называют наиболее вероятной скоростью. Для идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т, она определяется из условия и равна или .

Средняя квадратичная скорость определяется как квадратный корень из среднего квадрата скорости и связана со средней кинетической энергией поступательного движения молекул. Чтобы найти её с помощью распределения Максвелла, нужно определить отношение суммы квадратов скоростей молекул, содержащихся в единице объёма, к числу молекул в этом объёме:.

Для идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т, она равна или (3.22)

Среднюю арифметическую скорость  определяют как отношение суммы всех скоростей всех молекул в единице объёма к числу молекул в единице объёма: .

Для идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т , она равна :. . (3.23)

Эти скорости мало отличаются друг от друга по своим численным значениям : .

Экспериментально равновесное распределение частиц по скоростям было обнаружено Штерном, Истерманом и Симпсоном в 1947 году. Описание экспериментов см. в [1-3].