9. Энергия. Кинетическая энергия материальной точки и тела, движущегося поступательно. Связь между изменением кинетической энергии и работой, действующих на тело сил.

Кинетической энергией тела называется функция механического состояния, зависящая от массы тела и скорости его движения (энергия механического движения).

Кинетическая энергия поступательного движения

.

Кинетическая энергия вращательного движения

.

При сложном движении твёрдого тела его кинетическая энергия может быть представлена через энергию поступательного и вращательного движения:

.

Свойства кинетической энергии.

1. Кинетическая энергия является конечной, однозначной, непрерывной функцией механического состояния системы.

2. Кинетическая энергия не отрицательна: Е_К 0.

3. Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему.

4. Приращение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на тело: .

Эне́ргия — скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения материи и мерой перехода движения материи из одних форм в другие.

Между изменением скорости тела и работой, совершенной приложенными к телу силами, существует связь. Эту связь проще всего установить, рассматривая движение тела вдоль прямой линии под действием постоянной силы   В этом случае векторы силы   перемещения   скорости   и ускорения   направлены вдоль одной прямой, и тело совершает прямолинейное равноускоренное движение. Направив координатную ось вдоль прямой движения, можно рассматривать F, s, υ и a как алгебраические величины (положительные или отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора). Тогда работу силы можно записать как A = Fs. При равноускоренном движении перемещение s выражается формулой 

Отсюда следует, что 

10 Понятие силового поля. Силы консервативные и неконсервативные. Потенциальная энергия и ее связь с силой, действующей на материальную точку.

Консервативными силами называются силы, работа которых не зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Характерное свойство таких сил – работа на замкнутой траектории равна нулю:

К консервативным силам относятся: сила тяжести, гравитационная сила, сила упругости и другие силы.

Неконсервативными силами называются силы, работа которых зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Работа этих сил на замкнутой траектории отлична от нуля. К неконсервативным силам относятся: сила трения, сила тяги и другие силы.

Силовым полем называется физическое пространство, удовлетворяющее условию, при котором на точки механической системы, находящейся в этом пространстве, действуют силы, зависящие от положения этих точек или от положения точек и времени. Силовое поле. силы которого не зависят от времени, называется стационарным. Стационарное силовое поле называется потенциальным, если существует такая функция, однозначно зависящая от координат точек системы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выражаются так: X_i=∂υ/∂x_i; Y_i=∂υ/∂y_i; Z_i = ∂υ/∂z_i.

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы  , действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии  . Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Для установления этой связи вычислим элементарную работу  , совершаемую силами поля при малом перемещении   тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой  . Эта работа равна

где  - проекция силы   на направление  .

Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии  , она равна убыли потенциальной энергии  на отрезке оси  :

Из двух последних выражений получаем

Откуда

Последнее выражение дает среднее значение   на отрезке  . Чтобы

получить значение   в точке нужно произвести предельный переход:

Так как   может изменяться не только при перемещении вдоль оси  , но также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в этой формул представляет робой так называемую частную производную от   по  :

Это соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности и для направлений декартовых координатных осей х, у, z:

Эта формула определяет проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:

в математике вектор  ,

где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом  . Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком