29. Точечное оценивание.

Пусть вид распределения изучаемого признака X известен, но неизвестны значения входящего параметра (тетта).

Ставиться задача по выборке получить оценку неизвестного параметра .

Статистическая оценка – любая функция выборки.

=f(x₁,x₂,…,x_n) - стат. Оценка.

Точечной оценкой называется оценка, которая дается одним числом.

Для того, чтобы стат. Оценка давала значение приближенное к , она должна обладать определенными свойствами.

1. оценка называется несмещенной, если ее матожидание = оцениваемому параметру M()=.

2. Оценка называется состоятельной, если при она стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

На основании закона больших чисел можно показать, что среднее значение является состоятельной оценкой для МО

Можно показать, что начальный и центральный эмпирические моменты являются состоятельными оценками соответствующих теоретических моментов.

В частности выборочная дисперсия является состоятельной оценкой теоретической.

32. Доверительные интервалы.

Пусть вид распределения изучаемого признака известен, но не известно значение входящего параметра . F(х, )

Оценка одним числом наз-ся точечной, а двумя числами – концами интервала – интервальной.

Пусть по выборке получена точечная оценка неизвестного параметра . Это оценка чем точнее, чем меньше |-|.

Пусть |-|<, >0.

Методы математической статистики не позволяют на 100% утверждать, что выполняется это неравенство. Можно лишь говорить о вероятности его выполнения.Обозначим эту вероятность.

P(|-|<)=

-доверительная вероятность или надежность. выбирается исследователем самостоятельно.

- точность оценки

P(-<<+)=

Доверительным называется интервал (-;+), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

- точность оценки.

Замечание:

Неверно говорить, что попадает в интервал. Задача состоит в том, чтобы построить такой интервал, который бы заключал в себе .

Доверительные интервалы строятся следующим образом:

1. вычисляется точечная оценка

2. выбирается надежность

3. вычисляется точность оценки

33. Распределение х2 Стьюдента и Фишера.

Рассмотрим распределение случайных величин, которые строятся путем функционального преобразования нормальных случайных величин и используются в математической статистике.

1. пусть независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда случайная величина называется распределенной по закону с n степенями свободы.

M₀ M

При n распределение медленно стремится к нормальному.

2. Пусть независимы и , тогда случайная величина называется распределенной по закону Стьюдента с k степенями свободы.

Плотность распределения Стьюдента схожа с нормальной.

При kраспределение Стьюдента быстро стремится к нормальному.

1. Пусть независимы и имеют распределение с k₁ и k₂ числом степеней свободы.

2. Тогда распределение ~F(k₁,k₂) называется распределением по закону Фишера с k₁ и k₂ числом степеней свободы.

Замечание. 1) cлучайная величина Фишера строится так, что она всегда больше 1.

2) k₁ относится к числителю.

Т.о. эти случайные величины представляют собой функциональные преобразования нормальных случайных величин.