![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Случайные события.
- •2. Классическое определение вероятности и ее свойства.
- •5. Условная вероятность. Независимость событий.
- •6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •7. Схема независимых испытаний Бернулли.
- •8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •10. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
- •11. Математическое ожидание и его свойства.
- •Свойства м
- •12. Дисперсия и ее свойства.
- •13. Коэффициент корреляции и ковариация.
- •14. Моменты.
- •15. Основные дискретные распределения случайных величин.
- •1. Биноминальное распределение.
- •18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
- •19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20. Независимость случайных величин
- •21. Условный закон распределения.
- •22. Неравенство Чебышева. Сходимость случайных последовательностей.
- •23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
- •24. Центральная предельная теорема.
- •25. Выборочный метод.
- •26.Эмпирическая функция распределения и её свойства.
- •27. Полигон и гистограмма.
- •28. Числовые характеристики выборки.
- •29. Точечное оценивание.
- •32. Доверительные интервалы.
- •33. Распределение х2 Стьюдента и Фишера.
- •34. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания при известном .
- •35. Доверительные интервалы для оценки матожидания нормального распределения при неизвестном .
- •36. Проверка статистических гипотез.
- •37. Построение критической области.
- •38. Критерий согласия Пирсона.
- •39. Вычисление теоретических частот для нормального распределения.
- •40. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.
- •43. Критерий Манна-Уитни.
- •44. Парная регрессия.
- •45. Парный коэффициент корреляции, его свойства.
- •46. Проверка гипотез о достоверности выборочного коэффициента корреляции.
- •47. Нелинейная парная регрессия.
22. Неравенство Чебышева. Сходимость случайных последовательностей.
Для теории вероятности большую роль играют вероятности, которые близки либо к 0, либо к 1. Особую роль при этом играют случайные величины, которые представляют собой сумму большого количества случайных величин.
Последовательность
случайных величин
1,
2
и т.д. сходится
к
по вероятности,
если для ε>0
Неравенство Чебышева
Для случайной
величины
,
имееющей ограниченную дисперсию
,
и для любого
справедливо неравенство Чебышева
Неравенство
Чебышева часто используется для
противоположного события
23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
Теорема Чебышева: Если X1, X2,…,Xn – последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одним и тем же числом С, то для любого ε >0 выполняется
Доказательство.
Введем в рассмотрение случайную величину – среднее арифметическое случайных величин
Найдем
матожидание
И дисперсию
Следовательно –
дисперсия конечная. Тогда к
применим неравенство Чебышева
Переходя к пределу
получим
А так как вероятность
не может быть больше 1, то предел равен
1.
Суть закона больших чисел.Если число случайных величин неограниченно растет, то их среднее арифметическое утрачивает смысл случайной величины и стремится к постоянному числу равному среднему арифметическому их матожиданий.
Следствием теоремы
Чебышева является теорема
Бернулли.Пусть
-
число появления события А в n
испытаниях в схеме Бернулли, и p
– вероятность появления А в одном
испытании. Тогда для любого
справедливо
-частота
появления события.Пусть
,
где
- число появления события А в i-ом
испытании.
Дисперсия любой
величины
равна
произведению pq,
так как p+q=1,
то p*q
не превышает ¼,
и следовательно
дисперсии всех величин ограничены
числом c=1/4
Применим теорему Чебышева:
так как матожидание
равно вероятности наступления события.
Так как
равна относительной частоте появления
события А (m/n)(каждая
величина
1,
2,
n
при появлении события в соответствующем
испытании равна 1 и поэтому их суму равна
m),
то окончательно получим
,
что и т.д.
24. Центральная предельная теорема.
Пусть
- последовательность независимых
случайных величин и закон распределения
не известен.
ЦПТ – называется набор предположений, которые обеспечивают нормальный закон распределения для суммы этих случайных величин
Обозначим через
их сумму.
Говорят, что к
последовательности
применима
центральная предельная теорема
Частным случаем
ЦПТ является интегральная теорема
Муавра-Лапласса.
Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что если речь не идет о редких событиях, то биноминальное распределение стремится к нормальному.
Сформулируем ЦПТ для одинаково распределенных случайных величин.
Пусть случ величины
независимо
имеют одинаковые М, D,
то к этой последовательности применима
ЦПТ.
Суть ЦТП
Если число случайных величин неограниченно растет, то закон распределения их сумма стремится к нормальному распределению независимо от того по какому закону распределены слагаемые.