44. Парная регрессия.

Пусть изучается взаимосвязь м/д 2мя количественными признаками X и Y.

X и Y могут быть независимы, связаны между собой функциональной либо корреляционной зависимостью. При функцион зависимость изменения каждогознач Х влечет изменение каждого У.

При корреляции зависимость изменений каждого отдельного значения Х не обязательно влечет за собой изменение Y, однако изменение приводит к изменению .

Зависимость вида y=f(x)+, - ошибка оценки.

Чтобы установить вид зависимости строится поле корреляции. На OXY наносят координаты (x_i, y_j) и по расположению точек делают вывод о виде зависимости.

Пусть вид зависимости линейный.

(1)

Коэффициенты b₀ и b₁ найдем по методу наименьших квадратов

теоретические значения y.

Найдем b₀ и b₁ такие, при которых функция S достигает минимума.

{

Перейдем к средним значениям, поделив на n.

{

(2)

(3)

Методика построения уравнения регрессии

45. Парный коэффициент корреляции, его свойства.

(4)

Коэффициент обладает все теми же свойствами, что и теоретический коэффициент корреляции.

1.если x и y независимы, то 0.

2.-1<= 1

3.если x и y связаны линейной зависимостью, т.е. при , то

b₁>0, =1

B₁<0, =–1

Таким образом коэффициент является количественной характеристикой зависимости x и y. Чем ближе к единице, тем теснее и ближе к линейной зависимости между X и Y.

46. Проверка гипотез о достоверности выборочного коэффициента корреляции.

Пусть на выборке объема n найден коэффициент корреляции X и Y и он отличен от 0. Возможно, при этом, что генеральный коэффициент корреляции равен 0, а выборочное отличие от 0 случайно.

Проверим

H0: =0

H1:

Для проверки гипотезы H₀ используем свойство T

При справедливости H₀ эта случайная величина имеет распределение Стьюдента с (n-2) числом степеней свободы.

Проверка H₀ осуществляется следующим образом

1.вычисляется наблюдаемое значение критерия

2.по таблице критических точек распределения Стьюдента

max

|Тнабл|>Tкр, то H₀ отвергается и принимается H₁, следовательно X и Y связаны между собой достоверной корреляционной зависимостью.

|Тнабл|<Tкр, нет основания отвергнуть H₀, то недостоверно отличается от 0 (случайно) и между X и Y нет корреляционной зависимости.

Методика построения уравнения регрессии

47. Нелинейная парная регрессия.

В случае линейной зависимости применение метода МИК приводит к решению линейной алгебраической системы. Она имеет единственное решение. Кроме этого можно доказать, что оценки b₀ и b₁ явл-ся несмещенными_, состоятельные и эффективными. В случае нелинейной зависимости у =ƒ (х) +ε применение МИК приводит к решению нелинейной системы, которая в общем случае не имеет решение в известных аналитических ф-циях.

Некоторые нелинейные ф-ции можно преобразовать в линейную.

1. у = b₀+b₁*x+b₂*x²+…+b_k*x^k

z₁=x, z₂=x²,z_k=x^k

y = b₀+b₁*z¹+b₂*z²+…+ b_k*x^k + ε

2. y = b₀+b₁*(1/x)+ε, z = 1/x

y = b₀+b₁*z + ε

3. y = b₀ * x ^b1 * ε,

lg y = lg b₀ + b_1* lg x + lgε,

Y = lg y, B = lg b_{0 ,} Z ₌ lg x, E = lgε

Y = B+ b_{1 *} Z +E.

4. y = b_{0 *} e ^b₁^*x _* ε

ln y = ln b₀ + b₁*x+lnε,

Y = ln y, B = ln b₀ , E = lnε

Y = B+ b₁*x+E.

Типичные задачи с нелинейной зависимостью:

1.Реально строятся многочлены для 2 и 3 степени, для больших степеней модели невозможно использовать для прогноза т.к. с ростом х и у - быстро растет

Пример: ф-ция издержек в зависимости от выпуска продукции описывается квадратической моделью.

2.Обратная пропорциональная зависимость. Взаимосвязь м/д ростом зар.платы и темпами инфляции, или – зар.платой физич. труда и возрастам.

3.Степенная модель исп. в производственной ф-ции, т.к. взаимоотношения м/д показателями произ-ва удовлетворяют этой модели.