14. Моменты.

Обобщающими понятиями от матожидания и дисперсии являются моменты

Начальным моментом порядка k называется матожидание .

=M

_=Mξ, ₂=Mξ²

Центральным моментом ожидания порядка k называется матожидание в степени k отклонения случайной величины от своего математического ожидания υ_k=M(-M)^k=0

Например второй центральный момент это дисперсия.

υ₂=M (-M)²=D=M- (M)² _

Любой центральный момент можно выразить через начальный. Например третий центральный момент

υ_k=f(μ₁, …,μ_k)

15. Основные дискретные распределения случайных величин.

1. Биноминальное распределение.

Рассмотрим схему Бернулли. Производится последовательность n независимых испытаний в каждом из которых возможно только 2 исхода.

P(A)=p P()=q p+q=1

возможное распределение этой величины.

Вероятность этих значений вычисляется по формуле Бернулли. .

Найдем МО и DX

, где -число появлений события в i-ом (одном) испытании.

Закон распределения

	0	1
P	q	p

МО:

M=0*q+1*p=p ; M=np

Чтобы найти дисперсию

M₂=0²*q+1²*p=p

D= M_2- (M)²=p-p²=p(1-p)=pq

Так как дисперсии независимы

D=npq

2. Распределение Пуассона.

Пусть производится n независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события A равна p. Для определения вероятности k пользуется ф. Бернулли. Если вероятность мала, а число испытаний велико то формулой Пуассона.=0,1,...,m

P_m=

Mξ=∑m*a^m/m!*e^-a =a

Mξ²=∑m² * a^m/m!*e^-a =a+a²

В распределении пуассона МО и Дисперсия равны а

3. Геометрическое распределение.

Производится последовательность независимых испытаний в каждом из которых только 2 исхода

P(A)=p P()=q p+q=1

Испытание производится до появления события А

Вероятности этих значений

P_m=q^m-1p

P₃=q₂p

; S = . Если ряд сходится его можно почленно дифференцировать.

16. Равномерное и показательное распределение.

Относятся к непрерывным случайным величинам.

1. Равномерное

0, x¢ [a,b]

2. Показательное распределение.

Показательным, называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Характерным свойством показательного распределения является равенство матожидания и среднеквадратического отклонения:

.

17. Нормальное распределение.

Нормальным (распределением Гаусса) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью.

(cигма не под корнем!!)

Нормальное распределение определятся 2 параметрами . а – мат ожидание, - квадратическое отклонение нормального распределения.

Можно показать, что

,

При получим стандартное нормальное распределение.От произвольного перейти к стандартному можно с помощью преобразования .Функция стандартного нормального распределения имеет вид.

Часто вместо Ф(x) приводится функция Лапласа (нечетная)

F(x)=

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

По формуле Лапласа имеем

Вероятность заданного отклонения от матожидания для нормальной случайной величины

.

Правило трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то с вероятностью, близкой к единице, абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.