10. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.

Опр. Плотностью распределения вероятностей Св называется производная функции распределения:

.

Свойства плотности вероятности:

1., , так как это производная неубывающей функции.

2. , т.к.

3. .

Следует из определения и свойства 2.

4. Свойство нормировки:

.

В частности, если все возможные значения случайной величины заключены в интервале от a до b, то

.

Опр. СВ называется распределенной по равномерному закону, если ее плотность вероятности принимает постоянное значение в пределах заданного интервала, а вне этого интервала равна нулю

11. Математическое ожидание и его свойства.

Для ТВ и ее приложений большую роль играют некоторые неслучайные числа, вычисленные на основании законов распределения случайных величин.

Опр Мат. Ожид. дискретной СВ с законом распределения , , называется сумма ряда

, (9.1)

если этот ряд сходится абсолютно.

характеризует среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятности.

Опр. М непрерывной СВ с плотностью вероятности называется интеграл

= (9.2)

если он сходится абсолютно., если М=+-беск, то говорят, что м не сущ.

Свойства м

1. , c=const

2. М суммы СВ равно сумме их м о-ний:

.

3. Для независимых СВ и М произведения равно произведению М-ний

=.

Следовательно, если а =const

12. Дисперсия и ее свойства.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего мат. ожидания.

Выполним преобразования:

,

.

Для дискретной случайной величины с законом распределения x_i p_i дисперсия равна

D=

Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности дисперсия равна

.

Следовательно дисперсия характеризует рассеяние возможных значений вокруг своего математического ожидания.

Средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из дисперсии.

Свойства дисперсии

1.DC=0, c=const. Т.к. D(C)=M(C-M(C))²=M(C-C²)=0

2. Для независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

Следствие

Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате

.

3. Если и = const, то

, т.е.

.

13. Коэффициент корреляции и ковариация.

Коэффициентом корреляции называется

p(1, 2)=

Свойства

1.

2. если 1 и 2 независимы, то коэффициент корреляции равен 0. Обратное не верно. Если p=0, то говорят, что ₁ и ₂ некоррелированы.

3.если ₁ и ₂ связаны линейной функциональной зависимостью _{2= a+b1}, то в этом случае [p(₁, ₂)]=1

cov (₁, ₂) =M [ (₁ - M₁)(a + b₁ – a - bM₁)]=bM(₁ - M₁)²=bD₁

Если , то говорят, что ₁ и ₂ связаны корреляционной зависимостью, тем более тесной, чем ближе к 1.

Коэффициент корреляции служит для количественной характеристики зависимости между случайными величинами.

Если , то говорят, что зависимость близка к линейной.

Ковариацией случайных величин

Cov(₁, ₂)=M[(₁-M₁)( ₂-M₂)]

Называется мат. Ожидание. произведения отклонений случайных величин от своих МО.

Свойства ковариации

1. cov(₁, ₁)=M(₁-M₁)²=D₁

2. для независимых случайных величин коэффициент ковариации равен 0

cov (₁, ₂)=M₁M₂-M₁M₂=0

Но обратное не верно. Т.е. можно привести пример, когда коэфф. ковариации равен 0, но случайные величины зависимы.

3.

4. cov (C₁, ₂)=C cov (₁, ₂)

Ковариация является качественной характеристикой зависимости случайных величин.