25. Выборочный метод.

Пусть изучается некоторые количественный признак Х и пусть для его изучения имеется некоторая совокупность объектов. Иногда исследуются все объекты совокупности, иногда только их часть.

Совокупность объектов, взятых для исследования называется выборочной или выборкой. Совокупность объектов из которых взята выборка называется генеральной. Число объектов совокупности называется объемом.

Чтобы выборка хорошо отражала генеральную совокупность,ее объекты должны браться случайно и независимо друг от друга.

Пусть в выборке значении x₁ встретилось n₁ раз, x₂-n₂,….,x_k-n_k раз.

Возможные значения x_i – варианты, n_i – их частоты, ∑n_i объем выборки

n_i/n =w_i– относительные частоты.

Перечень вариантов, записанных в возрастающем порядке и соответствующим их частот называется статистическим распределением выборки или вариационным рядом.

26.Эмпирическая функция распределения и её свойства.

Также как и в теории вероятности для описания изучаемого признака строится эмпирическая функция распределения.

Эмпирической функцией распределения называется относительная частота события Х<х,

n_x-число вариант меньших x

n- объем выборки

n_x /n – относительная частота события

В теории вероятности функция распределения определяла вероятность события Х<х. На основаниитеоремы Бернулли можно утверждать

Т.о. эмпирическая функция распределения строится для оценки вида теоритической функции распределения

Свойства:

1. для любого x функция распределения

2. F(x) –неубывающая функция.

3.Если a=min{x_i}, то для любого x≤а F_n(x)=0

Если b=max{x_i}, то для любого x>b F_n(x)=1

4. Непрерывна слева.

27. Полигон и гистограмма.

Для наглядности строят различные графики. Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x₁, n₁); (x₂, n₂); …; (x_k, n_k) . Аналогично можно построить полигон отностительных частот, т.е. ломаная по точкам (x_i,w_i)

Для изучения непрерывного признака строятся гистограмма. Для этого находим a=xmin, b=xmax, R=b-a/ Разделим h=R/k, рассчитаем число вариант, попавших в каждый интервал.

Гистограмма – фигура состоящая из прямоугольников, основанием которых служат интервалы длин h, а высоты n_i/h – плотность частоты..

Тогда площадь i-го прямоугольника равна

А площадь всей гистограммы – n.

Аналогично строится гистограмма относительных частот. При этом вдоль оси y откладывается w_i/h.

Тогда площадь i-го прямоугольника равна

А площадь всей гистограммы –

Анологичным свойством нормировки обладает плотность распределения вероятности, т.о. гистограмма строится для оценки вида плотности вероятности.

28. Числовые характеристики выборки.

Пусть имеется варьиционный ряд

1. Выборочным средним или средним значение называется называется среднее арифметическое вариант

2. Выборочной дисперсей называется среднее значение квадратов отклонений вариант от среднего

D_B=

3. Выборочным средним отклонением

4. Размах варьирования наз разность м/д наибольшей и наименьшей вариантой

R=x_max-x_min

5. Модой называется варианта, которая имеет наибольшую частоту.

6. Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на 2 части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно, то m_e=x_k+1; при четном m_e=(x_k+x_k+1)/2.

Для нормального распределения мода и медиана совпадают.

7. Начальным моментом порядка k называется среднее арифметическое вариант, в степени k.

8. Центральным эмпирическим моментом порядка k называется среднее отклонение в степени k

M₁=0; M₂=D_B

9. Асимметрией называется

Для нормального распределения равна 0.

10. Эксцессом называется

Для нормального распределения равна 0.

Эксцесс показывает степень крутости и островершинности кривой по сравнению с нормальным распределением.