40. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.

Пусть имеется 2 выборки X и Y и пусть известно, что они имеют норм распределение со своими параметрами X~N(a₁, ), Y~N(a₂, )

X и Y будут иметь одинаковое распределении если их параметры равны.

Проверим сначала нулевую гипотезу, что их дисперсии равны

H₀: ²=²

Вычислим.

Несмещенной оценкой является S. ,

Сравним дисперсии, построив их отношение

Можно показать, что при справедливости Н₀ эта случ величина имеет распределение Фишера с числом степеней свободы n₁-1, n₂-1

F=~F(n₁-1,n₂-1), где n₁ относится к большей дисперсии

1. Конкурирующая гипотеза односторонняя. Пусть H1: S²_1>S²₂, т.е. правосторонняя критическая область.

F_k(K_кр)=1-. Проверка H₀ осуществляется следующим образом: вычисляется наблюдаемое значение критерия, F_набл=

Затем по табл критических точек распределения Фишера по выбранному уровню значимости и числом степеней свободы n₁-1, n₂-1 находим F_кр(,n₁-1, n₂-1)

Выводы:

Если F_набл> F_{кр ,} то H₀ отвергаем и принимаем конкурирующую.В этом случае дисперсии различаются достоверно

2. Двусторонне конкурирующая гипотеза. Пусть H₁: S²₁S²₂ - двусторонняя критическая область.

В этом случае можно перейти к односторонней критич области, только при выбранном уровне значимости , Fкр(/2, n₁-1, n₂-1).

Замечание:Критерий Фишера примен в предположении нормального распределения, а нормальное распределение может состовлять выборка с объемом не мение 30.

41.Сравнение средних двух нормальных выборок (Критерий Стьюдента).

Пусть имеется 2 выборки с объемами n₁ и n₂, распределенные по нормальному закону.

X~N(а₁,₁), Y~N(а₂,₂).

Проверим гипотезу H₀ о равенстве матожиданий.

H₀:a₁=a₂; при H₁:a₁a₂

Несмещенной состоятельной оценкой матожидания является выборочная средняя.

тогда H₀:

Для проверки H₀ вычислим

T=, ) – ошибка разности средних.

), где

1. S₁=S₂, можно показать, что Т~T(n₁+n₂-2)

Проверка H₀ осуществляется сл образом. Вычисляем

Затем по табл критических точек распределения Стьюдента находим Т_кр=(, n₁+n₂-2), - выбранный уровень значимости

Если |Tн|<|Tкр|, то нет оснований отвергнуть H₀. В этом случае средние различаются недостоверно (случайно)

Если |Tн|>|Tкр|, то H₀ отвергаем и принимает конкурирующую гипотезу H₁, В этом случае средние различаются достоверно.

2,S₁≠S₂. В этом случае о распределении случайной величины ничего нельзя сказать. Можно лишь говорить о том, что n₁,n₂→∞ эта величина → к распределению Стьюдента с числом степеней свободы

Замечание

Критерий Стьюдента обладает свойством устойчивости по отношению к нарушению вида распределения. Его можно использовать, если Т_набл намного больше, чем Т_кр.

43. Критерий Манна-Уитни.

Пусть имеется две независимых выборки Х,У обьемами n₁, n₂.

Пусть по их законе распределения ничего неизвестно.

F(x)=F

G(y)=G

Поставим задачу сравнения этих ф-ций. Критерий проверки таких гипотез наз.- непараметрическим. Суть этих критериев состоит в том, что они не используют исходные количественные данные.

H₀: F(x)= G(y)

H₁: F(x)≠ G(y)

Критерий Манна-Уитни не использует количество данных, а основано на понятиях >< - оно наз. ранговым.

Две выборки Х,У объединяются в одну и упорядочиваются по возрастанию. Каждое исходное значение заменяется своим рангом – номером по порядку объединенной выборки.

R _1,i – ранг i-го значения из выборки х.

R _2,j – ранг j-го значения выборки y.

Подсчитаем сумму рангов 1 и 2 выборки:

R ₁ = ∑ R _{1,i .} R ₂ = ∑ R _2,j

Обозначим R=min { R _1, R ₂ }

Статистика Манна-Уитни имеет вид: U =R – ½* n₁ (n₁ +1), R ₁ < R _2.

MU= (n₁ * n₂)/2 DU= ((n₁ + n₂)/12 )* (n₁ * n₂ )

Распределение статистики U имеет спец. вид n₁ / n_{2 =}α< +∞, но при n₁, n_{2 →}+∞ распределение U быстро стремится к нормальному. Это сходимость настолько быстрая, что при n₁ * n₂ >8 можно пользоваться нормальным распределением при проверке H_0. В этом случае нужно сделать преобразование стандартизации для нормального распределения.

Zнабл.=(U-MU)/√DU и по табл. норм. распред. на основании выбронного ур-ния значимости нах. Zкр.

Если Zнабл< Zкр, то нет основания отвергать H_0,

Если ׀ Zнабл׀> Zкр, то отвергаем гепотизу H₀ и принимаем H₁.