5. Условная вероятность. Независимость событий.

Часто интересует вероятность того, что произойдёт событие А при условии, что некоторое событие В уже произошло. Такую вероятность называют условной и обозначают P(A/B).

Опр. Условной вероятностью события А при условии, что событие В уже произошло, называется отношение

. (3.1)

Аналогично, условной вероятностью события B при условии, что событие A уже произошло, называется

. (3.2)

Из формул (3.1) и (3.2) получим теорему умножения:

(3.3)

Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из событий на вероятность второго, при условии, что первое уже произошло.

Распространим теорему умножения на конечное число событий:

Опр. События А и В называются независимыми, если вероятность произведения равна произведению вероятности этих событий.

. (3.4)

Из (3.3) и (3.4) получим:

.

Следовательно, для независимых событий условная и безусловная вероятности совпадают

.

Для конечного числа независимых событий вероятность произведения равна произведению вероятностей:

.

6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть событие А может произойти только с одним из n несовместных событий H₁…H_n, образующих полную группу, т.е.

Ø, ,

.

Так как события и несовместны, то и () и () являются несовместными.

Тогда по теореме сложения

Применяя теорему умножения к каждому слагаемому, получим формулу полной вероятности:

. (4.1)

События H₁, H₂,…, H_n часто называют гипотезами.

Иногда интересует, как перераспределятся вероятности гипотез, после того, как событие А уже произошло: .

По теореме умножения

,

.

Подставляя в знаменатель формулу полной вероятности, получим формулу Байеса:

. (4.2)

7. Схема независимых испытаний Бернулли.

Пусть производится последовательность независимых испытаний с 2 исходами: событие А или появится или не появится.

,,

Под элементарным событием в схеме Бернулли принимается последовательность наступлений и ненаступлений события А в n испытаниях.

Обозначим А={1}, ={0}. Тогда элементарный исход можно представить в виде вектора, состоящего из нулей и единиц: (1,0,…, 1).

Найдем вероятность того, что в n испытаниях событие появится ровно m раз.

Найдем сначала вероятность того, что в 3-х испытаниях событие А появится 2 раза при условии, что вероятность наступления в одном испытании равна p.

При этом возможны следующие элементарные исходы

(1,1,0); (0,1,1); (1,0,1).

Вероятность каждого элементарного исхода одинакова и равна p²q. Таким образом, вероятность того, что в 3-х испытаниях событие наступит 2 раза

.

Для произвольных m и n вероятность одного элементарного исхода равна p^mq^n-m . Число таких элементарных исходов равно числу способов разместить m единиц по n местам, а это по определению есть число сочетаний из n элементов по m. Получим формулу Бернулли

. (5.1)

При изменении m от 0 до n вероятность в формуле Бернулли сначала растет, а потом 4убывает, то число m₀ при котором эта вероятность достигает максимального значения наз. наивероятнейшим. Можно показать, что это число равно Если m₀ не является целым числом, то его следует округлить до ближайшего целого с избытком, а если m₀ целое число, то наивероятнейших чисел 2.

Часто интересует вероятность появления события А не ровно m раз, а от m₁ до m₂ раз включительно

(5).