§27. Спектр энергии. Радиальные волновые функции. Полиномы Лаггера.
Для нахождения спектра
энергии электрона в кулоновском
потенциале необходимо найти собственные
значения оператора
,
т.е. решить стационарное уравнение
Шредингера (26.6). Как было выяснено в §26
решение уравнения (26.6) удовлетворяет
соотношения (26.8):
,
где
(26.12)
Подставляя уравнение
(26.8) в (26.6) получим уравнение для функции
:
. (27.1)
Будем искать решение уравнения (27.1) в виде степенного ряда:
(27.2)
Подставляя (27.2) в (27.1) путём не сложных вычислений получим соотношение:
или, заменяя в первом
слагаемом
и перенося второе слагаемое в правую
часть, получим:
(27.3)
Считая
приравняем коэффициенты при одинаковых
степенях
.
Откуда получим рекурентное соотношение
для коэффициентов
:
(27.4)
Исследуем соотношение
(27.4) при
.
Получим, что
.
Откуда
и
.
Тогда, согласно соотношению (26.8)
.
Следовательно, ряд (27.2) должен быть
конечен, т.е.
(27.5)
Тогда из рекурентного соотношения (27.4) получим соотношение:
(27.6)
,где
, (27.7)
-орбитальное квантовое
число,
- радиальное квантовое число.
Из соотношения (26.7) с учётом (27.6) и (27.7) имеем:
(27.8)
Уравнение (27.8) определяет
спектр значений энергии электрона в
атоме водорода (при
=1). Таким образом, уравнение Шредингера
(26.6) имеет непрерывные, однозначные и
конечные решения лишь при дискретных
значениях энергии, т.е. энергия электрона
в атоме водорода квантуется.
Отметим, что знак «минус» в (27.8) означает лишь, что в качестве нуля энергии была выбрана энергия электрона, расположенного вдалеке от протона.
Для атома водорода (
=1) радиальная волновая функция имеет
вид:
(27.9)
где
- полиномы Лаггера, которые имеют вид:
(27.10)
Простейшие радиальные
волновые функции
имеют следующий вид.
(27.11)
Таким образом, если
атом водорода находится в своём основном
состоянии, то амплитуда того, что электрон
будет обнаружен в каком-то месте,
экспоненциально падает с расстоянием
от протона. Вероятнее всего встретить
его вплотную близ протона на расстоянии
одного боровского радиуса
.
При более высоком
уровне
,получаем:
(27.12)
§28. Сферические гармоники и их свойства.
28.1 Шаровые функции.
Общая теория момента одинаково применима как для собственного момента (спина), так и для орбитального и, в силу аддитивности момента, полного момента всей системы.
Сферические гармоники
(шаровые функции) есть собственные
функции в сферической системе координат
.
Найдём их угловую зависимость, используя
общую теорию момента. Для этого
воспользуемся явным выражением
и
в сферической системе координат:
(28.1)
(28.2)
Известно, что операторы
проекции момента количества движения
и квадрата орбитального момента
одновременно измеримы, т.е.
.
Следовательно, они обладают общей
системой собственных векторов, т.е.
(28.3)
(28.4)
Из уравнений (28.1) и (28.3) получим уравнение:
решение которого
(28.5)
В соответствие с
условиями, накладываемыми на волновую
функцию, функция
должна быть однозначной. Это возможно
в том случае, если она периодична по
с периодом
,
т.е.
.
Учитывая уравнение (28.5) имеем:
.
Этому условию удовлетворяют лишь целые
значения
.
А т.к.
,
то
тоже принимает лишь целые значения:
.