- •Министерство общего и профессионального образования
- •Учебное пособие
- •Предисловие.
- •Глава I. Фундаментальные идеи квантовой механики
- •§1. Идея о дискретности значений физических величин
- •1.1. Классическая теория равновесного излучения
- •1.2. Гипотеза Планка. Формула Планка. Фундаментальная постоянная Планка.
- •§2. Корпускулярно-волновой дуализм.
- •2.1. Квантовая теория света Эйнштейна.
- •2.2. Гипотеза де Бройля. Волна де Бройля.
- •2.3. Соотношение неопределенностей. Волновой дуализм.
- •§3. Статистический характер квантовых закономерностей.
- •3.1. Вероятностный характер поведения микрообъектов.
- •3.2. Статистический характер квантовой механики.
- •3.3. Статистическая интерпретация волновой функции.
- •3.4. Интерференция электронов от двух щелей.
- •Глава II. Математический аппарат и аксиоматика квантовой механики.
- •§ 4. Математический аппарат квантовой механики.
- •4.1. Векторы в линейном векторном пространстве.
- •4.2. Операторы в линейном векторном пространстве.
- •В) Собственные векторы и собственные значения самосопряжённых операторов.
- •§5. Принципы и постулаты квантовой механики.
- •1. Принцип соответствия.
- •2. Определение состояния квантовой системы.
- •4.Постулат квантования.
- •5.1. Принцип соответствия.
- •5.2. Определение состояния квантовой системы.
- •Принцип суперпозиции состояний.
- •Постулат квантования.
- •Правила квантования.
- •5.6. Вычисление средних значений физических величин.
- •5.7. Принцип тождественности (неразличимости) одинаковых частиц.
- •Глава 3. Основы теории представлений
- •§6. Координатное представление
- •6.1. Векторы состояния в координатном представлении
- •6.2. Операторы физических величин в координатном представлении
- •Операторы кинетической энергии, момента импульса, функции Гамильтона, энергии в координатном представлении.
- •6.3. Средние значения физических величин в координатном представлении
- •§7. Импульсное представление
- •7.1. Векторы состояния и операторы физических величин в импульсном представлении
- •§8. Матричное представление.
- •8.1. Векторы состояния в матричном представлении
- •8.2. Операторы физических величин в матричном представлении
- •8.3. Средние значения физических величин и матрицы плотности
- •Глава IV. Одновременная измеримость физических величин. Соотношения неопределенностей Гейзенберга.
- •§ 9. Одновременная измеримость физических величин.
- •9.1. О возможности одновременно точного определения динамических переменных (наблюдаемых).
- •9.2. Условие возможности одновременного измерения двух физических величин.
- •§ 10. Полный набор физических величин. Перестановочные соотношения Гейзенберга.
- •§ 11. Вывод соотношений неопределенностей для координат и канонически сопряженных импульсов.
- •§ 12. Соотношения неопределенностей для произвольных
- •Глава V. Квантовая динамика. Эволюция квантовых систем во времени
- •§13. Эволюция квантовой системы во времени: уравнение Гейзенберга
- •§14. Шредингеровская картина движения. Волновое уравнение Шредингера
- •§15. Уравнение фон Неймана. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени.
- •15.1. Уравнение фон Неймана для матрицы плотности.
- •15.2. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени
- •15.3. Принцип причинности
- •§16. Следствия из квантовых уравнений движения.
- •16.1. Стационарные состояния в квантовой механике.
- •16.2. Законы сохранения (интегралы движения) в квантовой механике
- •Закон сохранения энергии.
- •Закон сохранения импульса.
- •Закон сохранения момента импульса.
- •Глава VI. Квантовая теория гармонических колебаний и волн.
- •1) Квантовая электродинамика.
- •2) Квантовая теория колебаний кристаллической решётки.
- •3) Квантовая теория колебаний атомов в молекуле.
- •4) Частица в потенциальной яме.
- •§17. Спектр значений энергии гармонического осциллятора.
- •Координатное представление;
- •Импульсное представление;
- •§18. Стационарные состояния гармонического осциллятора. Координатное, импульсное и матричное представления.
- •1). Координатное представление.
- •2). Импульсное представление.
- •3). Матричное представление.
- •Глава VII. Квантовая теория момента.
- •§ 19. Общие свойства и особенности квантового момента.
- •§ 20. Собственные значения и собственные векторы проекции и квадрата момента.
- •§ 21. Орбитальный и спиновый моменты. Спин как внутренняя степень свободы.
- •§ 22. Спин электрона. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 23. Сложение квантовых моментов.
- •§ 24. Уравнение Паули. Собственный магнитный момент электрона.
- •§ 25. Спин электрона и релятивистская теория. Уравнение Дирака.
- •Глава VIII. Движение квантовых частиц в сферически симметричном потенциале. Атом водорода.
- •§25. Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции.
- •§26. Движение электрона в кулоновском потенциале. Стационарное уравнение Шредингера для радиальной составляющей волновой функции. Асимптотика уравнения на малых и больших расстояниях.
- •§27. Спектр энергии. Радиальные волновые функции. Полиномы Лаггера.
- •§28. Сферические гармоники и их свойства.
- •28.1 Шаровые функции.
- •28.2 Свойства сферических гармоник и их явные выражения.
- •28.3 Закон сохранения чётности.
- •Глава VIII. Преобразования симметрии
- •§ 8.1. Необходимые и достаточные признаки симметрии
- •§ 8.2. Микроскопическая обратимость во времени в квантовой механике
- •§ 8.3. Бесконечно малые преобразования симметрии. Законы сохранения в квантовой механике
- •§ 8.4. Трансляционная симметрия кристаллических тел. Функции Блоха
§26. Движение электрона в кулоновском потенциале. Стационарное уравнение Шредингера для радиальной составляющей волновой функции. Асимптотика уравнения на малых и больших расстояниях.
Рассмотрим движение электрона в кулоновском потенциале (например, электрон в атоме водорода или водородоподобных атомах). Для полного описания атома водорода следовало бы учесть: во-первых, движение обеих частиц – как протона, так и электрона; а во вторых, наличие спина у электрона. Мы используем два приближения:
-
будем считать протон очень тяжёлым (настолько, что он как бы закреплён в центре атома);
-
будем рассматривать электрон как частицу без спина.
Небольшие магнитные эффекты появляются из-за того, что протон с точки зрения электрона есть циркулирующий по кругу заряд, который создаёт магнитное поле. Энергия электрона в этом поле будет различна, в зависимости от направление спина. В результате этого энергия атома будет немного сдвинута относительно ниже вычисленной величины. Мы пренебрежём этим слабым сдвигом энергии и вообразим, что электрон подобен волчку, движущемуся в пространстве по кругу и сохраняющему всё время одинаковое направление спина.
Поскольку речь идёт о свободном атоме в пространстве, полный момент количества движения будет сохраняться. В нашем приближении будет считаться, что момент количества движения, вызываемый спином электрона считается неизменным, так что оставшийся момент количества движения атома («орбитальный» момент количества движения) также не будет изменяться. В очень хорошем приближении можно считать, что электрон движется в атоме водорода как частица без спина – его орбитальный момент количества движения постоянен.
Для решения задачи воспользуемся уже полученными уравнениями, описывающими движение частиц в сферически-симметричном потенциале.
Запишем стационарное уравнение Шредингера для радиальной составляющей волновой функции. Для этого перепишем уравнение (25.10) в виде:
Откуда сократив на и домножив левую и правую на получим:
(26.1)
Будем искать решение этого уравнения в виде
(26.2)
После введения безразмерной переменной
(26.3)
где - радиус первой боровской орбиты, получим стационарное уравнение Шредингера для частицы в кулоновском потенциале :
, (26.4)
где
(26.5)
Из уравнения (26.4) получим и подставив в (26.5) имеем:
Перепишем уравнение (26.4) в следующем виде
(26.6)
где
, (26.7)
т.к. рассматриваем связанные состояния.
Рассмотрим асимптотику уравнения (26.6) на больших и малых расстояниях, т.е при: а) ;
б) .
а) .
При этом условии уравнение (26.6) с учётом (26.7) примет вид:
Данному уравнению удовлетворяет функция , которая стремится к нулю, при . Таким образом, можно записать в следующем виде
. (26.8)
Задача теперь просто свелась к отысканию подходящей функции .
б) .
При данном условии уравнение (26.6) примет вид:
(26.9)
Данному уравнению удовлетворяет функция
(26.10)
Из уравнений (26.9) и (26.10) получим уравнение
которое имеет два корня:
Рассмотрим последовательно оба варианта.
1)
откуда , т.е. , при . Вследствие чего (из соображений ограниченности волновой функции) данное решение отбрасывается.
-
.
Таким образом,
(26.11)
Из равенств (26.8) и (26.11) получим следующее соотношение для :
(26.12)