В) Собственные векторы и собственные значения самосопряжённых операторов.

Если в результате действия оператора Â на вектор  получается произведение некоторой константы a на тот же вектор, т.е выполняется равенство

Â = а, (4.35)

то вектор  называется собственным вектором оператора Â, принадлежащим его собственному значению а. Уравнение (4.35) называется уравнением для собственных векторов (функций) и собственных значений. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора. Спектр бывает дискретным, непрерывным или смешанным (дискретно-непрерывным).

Рассмотрим свойства собственных векторов и собственных значений эрмитовых операторов.

Теорема 1. Эрмитов оператор имеет вещественные собственные значения.

Доказательство. Итак, пусть дан эрмитов оператор Â, т.е. Â = Â⁺ , и его уравнение для собственных векторов и собственных значений (дискретный спектр): Â_n = а_n_n. Требуется доказать, что a_n – действительные числа.

Пользуясь определением самосопряжённости оператора (4.28) для случая  =  = _n , запишем:

(_n,Â_n) = (_n,Â_n) * = (Â_n,_n),

откуда

(_n,a_n_n) = (a_n_n,_n),

т.е a_n(_n,_n)=a_n*(_n,_n),

значит

a_n = a_n*,

т.е. собственные значения эрмитова оператора Â действительны.

Теорема 2. Собственные вектора _n и _m эрмитова оператора Â, принадлежащие различным собственным значениям a_n≠a_m, взаимно ортогональны.

Доказательство. На основе эрмитовости оператора (условие (4.28)) можно записать:

(_m, Â_n) = (Â_m,_n).

С учётом теоремы 1 и свойств скалярного произведения векторов (4.10) преобразуем это равенство к виду:

a_n(_n,_m)=a_m(_m,_n),

откуда

(a_n-a_m)(_m,_n)=0.

Учитывая условие a_n≠a_m, получаем

(_m,_n)=0, (4.37)

что означает ортогональность собственных векторов _m и _n, принадлежащих различным собственным значениям. Таким образом, теорема доказана.

Поскольку уравнение (4.35) однородно, то собственные вектора определяются им с точностью до произвольного множителя. Этот множитель можно выбрать так, чтобы норма собственных векторов, согласно (4.9), равнялась единице, т.е.

(_n,_n)=1 (4.38)

Объединяя (4.37) и (4.38), получаем условие ортонормировки собственных векторов эрмитовых операторов с дискретным спектром:

(_m,_n) = δ_mn (4.39)

Если спектр собственных значений оператора Â непрерывен, то собственные векторы нельзя пронумеровать числами. В этом случае собственные векторы зависят от собственных значений а как от параметра, что обозначается через _а:

Â_а = а_а (4.40)

Так первая и вторая теоремы легко обобщаются и на случай непрерывного спектра собственных значений эрмитова оператора. Норма же собственных векторов в этом случае не является конечной, т.к. (_а,_а) = ∞. Поэтому условие ортонормировки записывается с помощью δ–функции Дирака:

(_а ,_а) = δ(а΄-а) ≡ (4.41)

В случае f–кратного вырождения некоторого собственного значения собственные векторы, принадлежащие ему, вообще говоря, не ортогональны. Однако, можно составить f линейных комбинаций из этих собственных векторов, удовлетворяющих условию ортонормировки. Система собственных векторов эрмитова¹ оператора является полной (замкнутой), если всякий вектор гильбертова пространства может быть разложен в ряд по собственным векторам эрмитова оператора, т.е

 = (4.42)

Это выражение аналогично (4.5), когда базисными векторами являются собственные вектора _n оператора Â. Для определения коэффициентов c_n в разложении (4.42) умножим его скалярно слева на _m :

(_m,) = .

Тогда формула для коэффициентов разложения в (4.42) представиться в виде:

C_n = (_n,) (4.43)

В случае непрерывного спектра собственных значений оператора Â любой вектор  гильбертова пространства раскладывается в интеграл, подобный интегралу Фурье:

 = , (4.44)

где _a–собственный вектор оператора Â (4.40), коэффициенты разложения определяются формулой:

c(a) = (_a,) (4.45)

Действительно, достаточно (4.44) умножить слева скалярно на вектор _a′, чтобы получить нужный результат:

(_a′,) = ∫(_a′,c(a)_a)da = ∫c(a)( _a′,_a)da = c(a′),

откуда следует формула (4.45).

Прямым следствием замкнутости (полноты) системы собственных векторов эрмитовых операторов является выражение скалярного произведения двух векторов гильбертова пространства:

(, Ф) = ∫c*(a)b(a)da, (4.46)

где c(a) и b(a) – проекции векторов  и Ф на базисные векторы _a, т.е. на собственные векторы эрмитова оператора Â.