4.2. Операторы в линейном векторном пространстве.
Оператор есть символ, выражающий правило, согласно которому каждому вектору из некоторого множества ставится в соответствие другой вектор (из этого же или другого множества):
 = (4.15)
Операторы обозначаются большими латинскими буквами со “шляпкой–крышкой” наверху, например, Â, Ĉ, Ĥ, Ŝ,…
В уравнении (4.15) под Â можно
подразумевать любую операцию: умножение
на координату x ( Â = x),
дифференцирование по x (
),
извлечение корня квадратного (Â
=
) и т.д.
В квантовой механике используются линейные операторы.
А) Линейные самосопряжённые (эрмитовы) операторы.
Оператор Â называют линейным, если он удовлетворяет условию:
Â(с11 + с22) = с1Â1 + с2Â2, (4.16)
где с1и с2 – некоторые постоянные комплексные числа.
Символы операторов представляют собою самостоятельные математические объекты, над которыми можно производить ряд математических действий: сложение, умножение, возведение в степень, разложение в степенной ряд.
Оператор Ĉ называется
суммой операторов Â и
,
т.е.
Ĉ = Â +
,
(4.17)
если выполняется равенство
Ĉ
= (Â +
)
= Â
+
(4.18)
Операция сложения операторов ассоциативна и коммутативна:
(Â +
)
+ Ĉ = Â + (
+ Ĉ);
 +
=
+ Â. (4.19)
Оператор Ŵ называется произведением операторов Â и Ĝ, т.е.
Ŵ = ·Ĝ, (4.20)
если справедливо равенство:
Ŵ = Â(Ĝ) (4.21)
Операция умножения операторов в общем случае не коммутативна:
·Ĝ ≠ Ĝ·Â.
Операторы, для которых ·Ĝ = Ĝ·Â., называются коммутирующими. Оператор вида
·Ĝ – Ĝ·Â = [Â,Ĝ] (4.22)
называют коммутатором операторов Â и Ĝ. Для коммутирующих операторов
[Â,Ĝ] = 0, (4.23)
т.е. операторы коммутируют, если они перестановочные.
Скалярное произведение векторов и Â записывается в виде (,Â).
Оператор Â+ называется сопряжённым оператору Â, если они удовлетворяют условию:
(,Â) = (Â+,), (4.24)
где и – любые векторы из данного пространства. Пользуясь дважды определением сопряжённого оператора, легко доказать, что
(,Â) = (Â+,) = (,Â+)* = ((Â+)+,)* = (,(Â+)+),
откуда следует
 = (Â+)+ (4.25)
Аналогичным методом можно доказать, что
(ÂĜ)+ = Ĝ+Â+ (4.26)
Существуют операторы, для которых справедливо равенство
 = Â+, (4.27)
они называются самосопряжёнными или эрмитовыми операторами. В квантовой механике в основном используются эрмитовы операторы. Условие самосопряжённости с учётом (4.24) записывается в виде:
(,Â) = (,Â)* (4.28)
Очевидно, что сумма самосопряжённых операторов есть самосопряжённый оператор. При умножении самосопряжённых операторов Â и Ĝ следует иметь в виду, что их произведение даёт эрмитов оператор лишь в том случае, если коммутатор их [Â,Ĝ] = 0, т.е. операторы–сомножители коммутируют друг с другом. Так как всякий оператор коммутирует сам с собой, то целая положительная степень эрмитова оператора Â есть так же эрмитов оператор:
Ân =
(4.29)
Символом Î обозначается единичный оператор:
Î = (4.30)
Очевидно, ÎÂ = ÂÎ для любого оператора. Если для оператора Â можно подобрать такой коммутирующий с ним оператор Â-1, что будет выполняться условие
 Â-1 = Â-1 = Î, (4.31)
то Â-1 называется обратным по отношению к оператору Â.
Операторы, для которых
Â+ = Â-1 , (4.32)
называются унитарными операторами, следовательно, для них справедливо равенство:
Â+Â = Â-1Â = Î. (4.33)
Легко доказать полезное соотношение:
.
(4.34)