- •Министерство общего и профессионального образования
- •Учебное пособие
- •Предисловие.
- •Глава I. Фундаментальные идеи квантовой механики
- •§1. Идея о дискретности значений физических величин
- •1.1. Классическая теория равновесного излучения
- •1.2. Гипотеза Планка. Формула Планка. Фундаментальная постоянная Планка.
- •§2. Корпускулярно-волновой дуализм.
- •2.1. Квантовая теория света Эйнштейна.
- •2.2. Гипотеза де Бройля. Волна де Бройля.
- •2.3. Соотношение неопределенностей. Волновой дуализм.
- •§3. Статистический характер квантовых закономерностей.
- •3.1. Вероятностный характер поведения микрообъектов.
- •3.2. Статистический характер квантовой механики.
- •3.3. Статистическая интерпретация волновой функции.
- •3.4. Интерференция электронов от двух щелей.
- •Глава II. Математический аппарат и аксиоматика квантовой механики.
- •§ 4. Математический аппарат квантовой механики.
- •4.1. Векторы в линейном векторном пространстве.
- •4.2. Операторы в линейном векторном пространстве.
- •В) Собственные векторы и собственные значения самосопряжённых операторов.
- •§5. Принципы и постулаты квантовой механики.
- •1. Принцип соответствия.
- •2. Определение состояния квантовой системы.
- •4.Постулат квантования.
- •5.1. Принцип соответствия.
- •5.2. Определение состояния квантовой системы.
- •Принцип суперпозиции состояний.
- •Постулат квантования.
- •Правила квантования.
- •5.6. Вычисление средних значений физических величин.
- •5.7. Принцип тождественности (неразличимости) одинаковых частиц.
- •Глава 3. Основы теории представлений
- •§6. Координатное представление
- •6.1. Векторы состояния в координатном представлении
- •6.2. Операторы физических величин в координатном представлении
- •Операторы кинетической энергии, момента импульса, функции Гамильтона, энергии в координатном представлении.
- •6.3. Средние значения физических величин в координатном представлении
- •§7. Импульсное представление
- •7.1. Векторы состояния и операторы физических величин в импульсном представлении
- •§8. Матричное представление.
- •8.1. Векторы состояния в матричном представлении
- •8.2. Операторы физических величин в матричном представлении
- •8.3. Средние значения физических величин и матрицы плотности
- •Глава IV. Одновременная измеримость физических величин. Соотношения неопределенностей Гейзенберга.
- •§ 9. Одновременная измеримость физических величин.
- •9.1. О возможности одновременно точного определения динамических переменных (наблюдаемых).
- •9.2. Условие возможности одновременного измерения двух физических величин.
- •§ 10. Полный набор физических величин. Перестановочные соотношения Гейзенберга.
- •§ 11. Вывод соотношений неопределенностей для координат и канонически сопряженных импульсов.
- •§ 12. Соотношения неопределенностей для произвольных
- •Глава V. Квантовая динамика. Эволюция квантовых систем во времени
- •§13. Эволюция квантовой системы во времени: уравнение Гейзенберга
- •§14. Шредингеровская картина движения. Волновое уравнение Шредингера
- •§15. Уравнение фон Неймана. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени.
- •15.1. Уравнение фон Неймана для матрицы плотности.
- •15.2. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени
- •15.3. Принцип причинности
- •§16. Следствия из квантовых уравнений движения.
- •16.1. Стационарные состояния в квантовой механике.
- •16.2. Законы сохранения (интегралы движения) в квантовой механике
- •Закон сохранения энергии.
- •Закон сохранения импульса.
- •Закон сохранения момента импульса.
- •Глава VI. Квантовая теория гармонических колебаний и волн.
- •1) Квантовая электродинамика.
- •2) Квантовая теория колебаний кристаллической решётки.
- •3) Квантовая теория колебаний атомов в молекуле.
- •4) Частица в потенциальной яме.
- •§17. Спектр значений энергии гармонического осциллятора.
- •Координатное представление;
- •Импульсное представление;
- •§18. Стационарные состояния гармонического осциллятора. Координатное, импульсное и матричное представления.
- •1). Координатное представление.
- •2). Импульсное представление.
- •3). Матричное представление.
- •Глава VII. Квантовая теория момента.
- •§ 19. Общие свойства и особенности квантового момента.
- •§ 20. Собственные значения и собственные векторы проекции и квадрата момента.
- •§ 21. Орбитальный и спиновый моменты. Спин как внутренняя степень свободы.
- •§ 22. Спин электрона. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 23. Сложение квантовых моментов.
- •§ 24. Уравнение Паули. Собственный магнитный момент электрона.
- •§ 25. Спин электрона и релятивистская теория. Уравнение Дирака.
- •Глава VIII. Движение квантовых частиц в сферически симметричном потенциале. Атом водорода.
- •§25. Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции.
- •§26. Движение электрона в кулоновском потенциале. Стационарное уравнение Шредингера для радиальной составляющей волновой функции. Асимптотика уравнения на малых и больших расстояниях.
- •§27. Спектр энергии. Радиальные волновые функции. Полиномы Лаггера.
- •§28. Сферические гармоники и их свойства.
- •28.1 Шаровые функции.
- •28.2 Свойства сферических гармоник и их явные выражения.
- •28.3 Закон сохранения чётности.
- •Глава VIII. Преобразования симметрии
- •§ 8.1. Необходимые и достаточные признаки симметрии
- •§ 8.2. Микроскопическая обратимость во времени в квантовой механике
- •§ 8.3. Бесконечно малые преобразования симметрии. Законы сохранения в квантовой механике
- •§ 8.4. Трансляционная симметрия кристаллических тел. Функции Блоха
9.2. Условие возможности одновременного измерения двух физических величин.
Для решения поставленного вопроса докажем теорему:
Теорема: Для того, чтобы физические величины и были в принципе одновременно измеримы, необходимо и достаточно равенства нулю коммутатора операторов и этих величин, т.е. .
Доказательство: Пусть физические величины и могут быть одновременно измерены, т.е. операторы и имеют общую полную систему собственных векторов . Докажем, что коммутатор операторов и равен нулю: .
Разложим любой вектор состояния квантовой системы по общей полной системе собственных векторов :
. (9.2)
Вычислим результат действия оператора на вектор (9.2):
. (9.3)
Затем вычислим результат действия на :
. (9.4)
Из равенства правых частей в выражениях (9.3) и (9.4) следует:
,
где произвольный вектор. Таким образом,
,
т.е.:
. (9.5)
Доказательство достаточности условия (9.5).
Докажем, что если операторы и коммутируют друг с другом, то соответствующие физические величины и в принципе одновременно измеримы, т.е. операторы и имеют общую полную систему собственных векторов .
Предварительно докажем лемму:
Лемма: Если есть собственные векторы оператора с собственными значениями (), и оператор коммутирует с оператором , т.е. , то векторы также являются собственными векторами , принадлежащими тем же собственным значениям , т.е.
Доказательство: В этом легко убедиться, вычислив результат действия на векторы :
. (9.6)
При доказательстве достаточности условия (9.5) рассмотрим два случая.
-
Случай отсутствия вырождения собственных значений оператора.
По условию каждому значению принадлежит один собственный вектор, описывающий одно и только одно квантовое состояние: . С учетом леммы: откуда следует, что векторы и , описывая одно и то же состояние, могут отличаться друг от друга лишь постоянным множителем:
. (9.7)
Значит, каждый собственный вектор является собственным для операторов и , т.е. операторы и имеют общую полную систему собственных векторов. Следовательно, физические величины и в принципе одновременно измеримы, если
-
Случай наличия вырождения: собственному значению принадлежит несколько собственных векторов оператора . В этом случае и могут и не совпадать.
Разложим вектор по собственным векторам оператора :
, (9.8)
где определяются уравнением . Преобразуем уравнение с помощью разложения (9.8) к виду:
. (9.9)
Согласно лемме
(9.10)
Тогда с учетом разложения (9.8) уравнение (9.10) записывается в виде:
(9.11)
В результате получаем систему уравнений:
(9.12)
Эта система уравнений совместима, если
(9.13)
откуда следует, что и имеют общую полную систему векторов , т.е. и в принципе одновременно измеримы. Итак, если два оператора коммутируют, то они имеют общую полную систему собственных векторов, физические же величины, изображающиеся этими операторами, могут быть одновременно точно определены (измерены).