3.5. Дифракция в кристаллах

Обычно для исследования структуры кристаллов используют дифракцию волн. Длины этих волн сравнимы с межатомными расстояниями в кристаллах (порядка 10^-8см, или 1 Å). Анализ данных, полученных дифракционными методами, позволяет определить:

1. Средние расстояния между рядами атомов и атомными плоскостями в кристалле.

2. Углы между плоскостями

3. Симметрию точечных групп

4. Координаты отдельных атомов

5. Размеры элементарной ячейки

В 1912 году Лауэ высказал предположение, что кристаллы можно рассматривать как трёхмерную дифракционную решётку для рентгеновских лучей, длина волны которых сравнима с межатомными расстояниями. В 1913 году Брэг и независимо от него российский учёный Фульф обнаружили, что кристаллические вещества дают характерные картины отражения рентгеновских лучей. Они же дали простое объяснение наблюдаемому в кристалле изменению направления лучей, испытавших дифракцию.

Рассмотрим семейство параллельных, равноотстоящих плоскостей, образованных узлами кристаллической решётки: D – межплоскостное расстояние.

При отражении падающего пучка от соседних плоскостей разность хода лучей равна , где Θ – угол падения. Излучение, отражённое от соседних плоскостей, будет при интерференции усиливаться в том случае, когда разность хода равна целому числу n длин волн λ. В итоге получаем закон:

Закон Вульфа-Брегга или условие интерференционного максимума при отражении

По закону (3.1) для отражения необходима определённыя связь между Θ и λ. Чтобы выполнить (3.1), необходимо подбирать или длины волн, или углы падения. В современных исследованиях применяют 3 метода:

1. Метод Лауэ. Узкий не монохроматический пучок рентгеновских лучей направляется на неподвижно закреплённый монокристаллический образец. Этот пучок содержит рентгеновские лучи с широким диапазоном длин волн. В кристалле дифрагируют только лучи с такими λ, что для этих длин волн межплоскостные расстояния d и углы падения Θ удовлетворяют закону (3.1).

2. Метод вращения кристалла. Монокристалл вращается вокруг какой-либо фиксированной оси в монохроматическом пучке рентгеновских лучей. При изменении угла Θ, различные атомные плоскости занимают такие положения, при которых может происходить отражение по закону (3.1).

3. Метод порошка. Пучок монохроматического излучения падает на образец в виде мелкого порошка или поликристаллического материала. В таком образце присутствуют почти все ориентации кристаллитов. Падающие лучи отражаются от тех кристаллитов, которые по отношению к направлению падающего пучка оказываются ориентированными так, что соответствующий угол удовлетворяет (3.1).

3.6. Обратная решётка

Для периодических структур вводят понятие обратной решётки и обратного пространства. Параметры прямой и обратной решётки связаны между собой. Пусть , - базисные векторы прямой решётки или решётки в реальном пространстве. Тогда основные векторы обратной решётки запишутся:

Nβ: обратной решётки не существует в кристалле. Она представляет собой удобную абстракцию, позволяющую математически просто и точно описывать условия, в которых протекает то или иное явление.

Семейство параллельных плоскостей (hkl) прямой решётки соответствует узел обратной решётки. Для идеального монокристалла, представляющего собой набор повторяющихся в реальном пространстве одинаковых блоков, обратная решётка в обратном пространстве есть ∞ множество точек, периодически расположенных, расстояние между которыми обратно пропорционально межплоскостному расстоянию d. Для векторов прямой и обратной решётки можно записать следующее соотношение:

То есть векторы перпендикулярны парам , , .

Свойство обратной решётки:

1. Каждый вектор обратной решётки перпендикулярен некоторому множестве плоскостей прямой решётки

2. В обратном пространстве также вводится понятие трансляций, которое описывается вектором трансляции обратной решётки:

- вектор трансляции обратной решётки

3. Объём элементарной ячейки обратной решётки обратно пропорционален объёму элементарной ячейки прямой решётки.

4. Прямая и обратная решётка взаимно сопряжены, т.е. решётка, обратная обратной есть исходная прямая решётка.

5. Вектор обратной решётки перпендикулярен (hkl) и по модулю обратно пропорционален d_HKL:

где HKL – совокупность индексов (hkl).

Физический смысл обратной решётки: каждый узел обратной решётки соответствует возможному отражению от плоскостей прямой решётки кристалла. Направление вектора обратной решётки совпадает с направлением отражения от плоскостей (hkl), а n-й узел обратной решётки в этом ряду отвечает отражению n-го порядка от этих плоскостей.