5.3. Свойство волнового вектора электрона в кристалле

Свободный электрон.

Состояние свободно движущегося электрона определяется энергией и импульсом р:

Этому соответствует волна де Бройля, которой в свою очередь соответствует импульс .

Таким образом энергия электрона представляется в виде:

- энергия свободного электрона.

Если на электрон никакие силы не действуют, то его энергия Е остаётся постоянной. Это означает, что не меняется k, и, следовательно, остаётся постоянным импульс .

Электрон в кристалле.

На электрон в кристалле всегда действует периодическое поле решётки. Энергия этого взаимодействия является периодической функцией координат. Следовательно, энергия и импульс электрона в кристалле изменятся со временем под действием периодического поля.

Для электрона в кристалле можно ввести характеристику, аналогичную импульсу . Её называют квазиимпульс электрона. Он отличается от импульса свободного электрона. Если для обычного импульса операторный вид записывается , то для электрона в кристалле оператор квазиимпульса:

При

Т.е. без периодичности квазиимпульс тождественно обращается в обычный импульс.

Волновой вектор электрона в кристалле, в отличие от волнового вектора свободного электрона, неоднозначен. Состояние в кристалле, характеризуемое вектором и физически эквиваленты. Т.е. если в обратном пространстве построить обратную решётку, растянутую в 2π раз, то есть решётку с векторами , ///////////// то всё кважипространство можно разделить на ………… Эти области и называются областями Брилюэна.

Любой реальный кристалл является ограниченным. Это приводит к тому, что волновой вектор электрона может принимать только дискретный ряд значений. Так как и Е связаны, то и энергия является квантованной. Эта совокупность дискретных энергетических уровней, описываемых функцией , b///dfg//

5.4. Энергетический спектр электрона в кристалле. Модель Кронега-Пенни.

Для нахождения энергетического спектра электрона в кристалле, необходимо решить одноэлектронное уравнение Шредингера (5.5). Собственные функции и собственные значения , зависят от вида ……… хуйни. Точный вид потенциала определить практически невозможно, поэтому используют ряд приближений: некоторые характерные особенности энергетического спектра можно узнать, рассматривая простую одномерную модель периодического потенциала, которую называют модулью Кронега-Пенни (К-П).

Графически этот потенциал представляется: он состоит из ряда ям и потенциальных барьеров. В этой модели прямоугольные ямы шириной а чередуются с барьерами ширины b. Период такой решётки . Таким образом, V(r):

Соответственно одномерное уравнение Шредингера будет записано в виде:

Его решением будет одномерная функция Блоха:

Решая это уравнение и вводя обозначение:

Мы получим уравнение, которое можно решить геометрически:

В котором вводит величина:

Представляющую собой меру эффективной площади каждого потенциального барьера. Она характеризует степень прозрачности барьера для электрона, или, другими словами, степень связанности электрона в потенциальной яме, т.е. надо решить уравнение вида:

Его решение рассмотрим графически. Так как может принимать значения только в интервале (+1, -1), то допустимыми значениями являются такие, для которых левая часть уравнения так же находится в пределах (+1, -1). На рисунке интервалы разрешённых значений закрашены. Ширина этих интервалов зависит от параметра : чем оно меньше, тем он шире. Кроме того, ширина зависит от αa: при любом фиксированном эти интервалы расширяются при увеличении αa. Так как α и энергия Е тоже связаны, то все сказанное относится и к энергии.

РИСУНОК

Νβ: таким образом, энергия электрона в кристалле не может принимать любые значения: есть зона разрешённых энергий, и зона запрещённых энергий.