2.А. Осью симметрии (простой или поворотной) называется линия, при повороте вокруг которой на некоторый определённый угол, фигура совмещается сама с собой.

Обозначается L_n, где n – порядок оси симметрии, показывающий сколько раз фигура совместиться сама с собой при полном обороте вокруг этой оси.

Примеры: у куба есть 3 оси четвёртого порядка, обозначается , которые проходят через центры противоположных граней; у куба 4 оси 3-го порядка , являющиеся пространственными диагоналями куба; и 6 осей 2-го порядка , проходящие через середины пар противоположных рёбер.

Соответствующие углы поворота .

2.б. Операция поворота тела вокруг неподвижной оси на угол с одновременным отражением его в плоскости, перпендикулярной к той же оси, называется зеркально-поворотным преобразованием. Если в результате такого преобразования тело переходит само в себя, то соответствующую ось называют зеркально-поворотной осью n-го порядка (обозначается S_n).

3. Если при инверсии относительно некоторой точки тело переходит само в себя, то данная точка называется центром симметрии тела. Симметричное преобразование в центре симметрии – это зеркальное отражение в точке.

Пример: треугольник ABC переходит в A’B’C’.

Под точечной группой симметрии понимают совокупность преобразований симметрии, сохраняющей неподвижной хотя бы 1 точку. Точечные группы симметрии – группы, содержащие только операции отражения, поворота и инверсии.

Кристаллы обладают точечной симметрией, а кристаллические решётки – пространственной симметрией.

Полную совокупность элементов симметрии, характеризующую симметрию объекта, называют классом симметрии.

Число классов симметрии ограничено. Полный математический анализ всех возможных комбинаций элементов симметрии, встречаемых в кристаллах показал, что из всех элементов симметрии можно образовать только 32 различных класса симметрии.

3.4.1. Пространственные группы

В пространственной решётке к рассмотренным элементам симметрии добавляется новый элемент – трансляция , которая действует не на какую-либо точку, а на решётку в целом.

Комбинация трансляции с элементами симметрии, характерными для кристаллов, дают новые элементы симметрии:

1. Поворот вокруг оси + параллельный перенос вдоль оси называется винтовой осью (бывает правый и левый).

2. Отражение в плоскости + параллельный перенос вдоль плоскости называется плоскость скользящего отражения.

Nβ: Итак, существует 5 элементов симметрии в пространственной решётке:

1. Зеркальные плоскости

2. Поворотные оси

3. Центр симметрии

4. Винтовые оси

5. Плоскости скользящего отражения

Из них можно образовать только ограниченное число пространственных групп.

Пространственная группа – полная совокупность элементов симметрии, характеризующая симметрию решётки данного кристалла.

Полный анализ, выполненный русским кристаллографом Фёдоровым, вывел 230 пространственных групп симметрии, которые определённым образом распределяются по 32 классам точечной симметрии: кубическая – 36 (пространственных групп), тетрагональная – 68, гексагональная – 67, ромбоэдрическая – 59, моноклинная – 13, триклинная – 2. Среди 230 пространственных групп, 11 пар отличаются только направлениями вращения винтовых осей.

Такие группы называются энантиоморфными.

Пример: кварц. Имеет 2 модификации: одна имеет правую винтовую ось, а другая – левую.

Пока не все группы Фёдорова найдены в природе. Для 53 групп пока не найдено ни одного кристалла.