15. Диаграммы Хассе

Диаграмма Хассе – это графическое изображение конечных частично или линейно упорядоченных множеств.

Пусть М – упорядоченное множество и элементы x, yM, причем x<y. Говорят, что y покрывает x, если не существует элемента zM такого, что x  z y.

На диаграмме Хассе элементы множества М изображаются в виде точек. Две точки x и y соединяются отрезком прямой в том и только том случае, когда y покрывает x. При этом точку x рисуют ниже точки y.

Примеры.

1) M ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } упорядочено отношением . Тогда его диаграмма выглядит так, как показано на рисунке 8. Такая диаграмма характерна для линейно упорядоченных множеств.

2) M = 2^{{ a, b, c }} = { , { a }, { b }, { c }, { a, b }, { a, c }, { b, c }, { a, b, c }} упорядочено отношением включения – «  ». Тогда его диаграмма выглядит как на рисунке 9.

3 ) M ={ 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 } упорядочено отношением P={ (x, y) : y делится на x }. Его диаграмма Хассе изображена на рисунке 10 и совпадает с предыдущей диаграммой с точностью до обозначения элементов. Между элементами этих множеств можно установить биективное отображение, сохраняющее имеющуюся упорядоченность элементов. Говорят, что такие множества изоморфны (подобны) между собой относительно заданных на них отношений порядка.

2. Алгебраические действия общего типа

   1. Основные понятия

Пусть А – непустое множество и n 1. Тогда n –арным действием (или n –местной операцией) на множестве А называется отображение некоторого подмножества декартова произведения в А.

Обозначение: φⁿ: Аⁿ  А.

Могут рассматриваться также нуль–арные действия (операции), которые по определению отмечают некоторый элемент из А. При n = 1 операция называется унарной, например, а^–1. При n = 2 – бинарной, например a+b. При n = 3 – тернарной, например, нахождение центра тяжести векторов на плоскости f(x,y,z)=(x+y+z)/3. И т.д.. Чаще всего рассматриваются бинарные операции, для которых по определению некоторым парам элементов x, yA (или каждой паре элементов в частном случае), взятых в определенном порядке, сопоставляется третий элемент zA, называемый результатом выполнения операции над операндами x и y.

Отметим, что действие всегда задается на определенном множестве, поэтому в этом смысле сложение на множестве натуральных чисел и сложение на множестве рациональных чисел – разные действия, т.к. отличаются множествами, на которых они заданы.

На одном и том же множестве может быть задано несколько действий.

Множество всех действий (операций), заданных на множестве А, называется сигнатурой А, т.е. Ω(А)= {φ˚, φ¹, φ²,…} – сигнатура А. Множество А вместе с заданной на нем сигнатурой, возможно пустой, называется универсальной алгеброй или алгебраической системой и обозначается (А, Ω).

Для обозначения бинарного действия могут употребляться следующие формы записи: z = φ(x, y) или z = x_y, если zA – результат некоторого действия над x и yA, а «_» – обозначение действия (традиционно для обозначения действия используются знаки: +, –, , :, /, *, ^,  и т.д., при этом, используемое обозначение не обязательно показывает совпадение действия с известным элементарным действием). Запись вида z = x_*y или z = xy, или z = xy называется мультипликативной, а z = x + y – аддитивной. При этом используется обычная терминология: операнды называются сомножителями (слагаемыми), а результат – произведением (суммой), хотя само действие может не иметь ничего общего с обычным умножением или сложением чисел.