1. Задачи и упражнения

Даны множества: А={ 2; 5; 8}; B={ a; b; c }, C=( 2; 5 ]. Найти: 1) AB; 2)AC; 3)AB; 4)AC; 5)A \ C; 6)C \ A; 7)AC; 8)AB; 9) AC (нарисовать); 10).

Найти 1), – объединение и пересечение по всем натуральным индексам n для множеств: (а) M_n={ xℝ: |x|n }; (б) M_n={ xℝ: x; (в) M _n = {x  ℝ : x  n}.

Найти – объединение и пересечение по всем вещественным индексам r для множеств: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Докажите тождество двумя способами: а)используя диаграммы Эйлера–Венна; б) используя только определения операций над множествами. ; ; ,,; , ; ; ; ; .

Доказать, что ; .

Определить операции \ через: (а) , ; (б) , ; (в) , \ .

Доказать, что нельзя определить: (а) \ через ; (б) .

Найти число различных собственных разбиений множества, состоящего из четырех элементов. Собственным разбиением множества A называется такое его разбиение на непустые и попарно непересекающиеся подмножества , что , и при этом количество этих подмножеств более одного.

Найти число различных двухэлементных подмножеств множества, состоящего из четырех элементов. Сколько подмножеств из k элементов имеет множество, состоящее из n элементов ?

Решить систему уравнений: ; ; ;

Показать, что система уравнений имеет решение тогда и только тогда, когда ; при этом условии решением системы является любое множество X такое, что .

При каких А, В и С системы имеют решение?

Выписать все элементы декартового произведения трех множеств: .

Найти геометрическую интерпретацию следующих множеств: (а) [a,b][c,d], где [a,b] и [c,d] – отрезки вещественной оси; (б) [a,b]²; (в) [a,b]³; ; .

Сколько элементов в декартовом произведении пяти конечных множеств, состоящих из k₁, k₂, k₃, k₄ и k₅ элементов?

Сколько различных последовательностей длины 5 можно составить из элементов множества {‑1, 0, 1}?

Каково должно быть разбиение конечного множества A на два непустых и непересекающихся подмножества A₁ и A₂, чтобы декартово произведение имело наибольшее число элементов?

Доказать, что

Доказать, что . При каких A, B, C и D получается равенство?

Даны две числовые функции: f(x)=3–x; g(x)=x²–4. Найти: 1); 2); 3); 4); 5); 6). Для множеств A=[–0.5; 2] и B=[0; 5] найти f(A), g(A), f^–1(B), g^-1(B). Найти также неподвижные точки отображений f и g.

Отображение множества натуральных чисел в себя задано следующим законом: , где n– любое натуральное число. Найти образ f(ℕ) множества всех натуральных чисел.

Найдите область определения, область значений бинарного отношения Р. Определите, является ли отношение Р рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным. (а) P={(x,y): x²=y, где x и y – натуральные числа}; (б) P={(x,y): x²+y²=1, где x и y – целые числа }

Даны два множества: А={ a,b,c } и B={ 1,2,3,4 } и два бинарных отношения: Р₁АВ и Р₂В², где Р₁={ (a,1); (a,2); (b,3); (b,4); (c,3); (c,4) } и P₂={ (1,1); (1,4); (2,1); (2,2); (2,4); (3,3) }. Найдите: Р₁^-1, Р₂^-1, (Р₂Р₁), (Р₂Р₁)^‑1, (Р₁^-1Р₂^-1). Определите, является ли отношение Р₂ рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным.

Выясните, какими свойствами обладает действие: (а) умножение на множестве натуральных чисел; (б) вычитание на множестве натуральных чисел; (в) сложение на множестве натуральных чисел.

Определите, какими свойствами обладают действия обычного сложения и умножения, заданные на множестве М, образует ли множество М группу относительно какого-нибудь из этих действий, если множество М (а) { –1, 0, 1}; (б) { –1, 1}.

Определите, образует ли множество М={ 0, 1 } группу относительно следующего действия: , где x и yM.

Составьте таблицу Кэли для сложения и умножения классов вычетов по модулю 5. Классифицируйте данную алгебраическую систему. Найдите порождающий элемент мультипликативной группы этой системы.

Введя необходимые обозначения, запишите матрицу смежности и матрицу инциденций для графа, изображенного на рис.41.

Найдите число ребер в абсолютном дополнении графа на рис.41. Нарисуйте это дополнение.

Определите степень каждой вершины в графе на рис.41 и число маршрутов длины 3 между любой парой вершин.

Определите циклический и коциклический ранг графа на рис.41, нарисуйте один из его остовов, изобразите соответствующее этому остову ко-дерево, а также систему фундаментальных циклов и систему фундаментальных разрезов относительно выбранного остова.

Определите, является ли граф на рис.41 эйлеровым или полуэйлеровым. И, если это так, то найдите в графе эйлерову или полуэйлерову цепь соответственно. Определите также, является ли этот граф гамильтоновым, и укажите гамильтонов путь, если это так.

Определите, является ли граф на рис.42 планарным. И, если это так, то нарисуйте какую-нибудь его плоскую реализацию.