14. Гамильтоновы графы

В 1859г. ирландский математик сэр Уильям Гамильтон придумал игру–головоломку. Основой её был правильный додекаэдр, сделанный из дерева. Каждая вершина этого додекаэдра была помечена названием одного из крупных городов (Брюссель, Франкфурт, Дели и т.д.). Задача состояла в нахождении пути вдоль ребер додекаэдра, проходящего через каждый город в точности по одному разу.

Сопоставляя додекаэдру его граф, см. рис.32(г), ту же задачу можно переформулировать так: найти на графе замкнутый путь, проходящий через все вершины графа (или покрывающий все вершины графа). Такой путь называется гамильтоновым циклом, а графы, в которых он имеется, называются гамильтоновыми. Если путь, покрывающий все вершины графа, не замкнут, то граф называется полугамильтоновым.

На рис.38(а) изображен негамильтонов граф, 38(б) – полугамильтонов и 38(в) – гамильтонов граф. Заметим, что гамильтонов цикл, вообще говоря, не покрывает всех ребер графа, поскольку в каждой вершине он проходит в точности по двум ребрам.

Хотя между эйлеровыми и гамильтоновыми графами имеется некоторая аналогия, однако, теории для них имеют мало общего. И трудность этих двух задач различна. Для гамильтоновых графов нет такого простого критерия, как для эйлеровых. Имеются лишь достаточные условия того, чтобы простой граф был гамильтоновым. Одним из них является теорема Дирака.

1. (Дирака) Если в простом графе с n вершинами (n3) степень любой вершины больше, либо равна n/2, то граф является гамильтоновым.

2. Если в простом графе с n вершинами (n3) для любой пары несмежных вершин v_i, v_j выполняется условие deg(v_i)+deg(v_j)n, то граф является гамильтоновым. (Если deg(v_i)+deg(v_j)n‑1, то граф – полугамильтонов.)

Классическим примером задачи поиска гамильтоновых циклов является известная задача о коммивояжере (странствующем торговце). Коммивояжеру необходимо посетить несколько городов, расстояния между которыми известны. Нужно найти кратчайшую дорогу, проходящую через все пункты и возвращающуюся в исходный пункт. Здесь каждому городу сопоставим вершину графа, дороге между городами – ребро. Ребру приписываем заданное расстояние, которое, очевидно, можно рассматривать как функцию двух вершин f(v_i,v_j). Если вершины v_i,v_j несмежны, то f(v_i,v_j)=. Таким образом, длина гамильтонова цикла L=. Найти цикл, для которого L минимальна. Не известно до сих пор никакого эффективного алгоритма для решения этой задачи. Для конечного случая её можно решить простым перебором. Отметим, что для полного графа на n вершинах существует гамильтоновых циклов, т.е. сложность задачи очень быстро возрастает с ростом числа вершин.

15. Планарные графы

Укладкой графа на произвольной поверхности называется такое изображение его на этой поверхности, что ребра графа пересекаются только в его вершинах. Сферической укладкой называется укладка графа на сфере. Плоской укладкой называют укладку графа на плоскости.

Граф, имеющий плоскую укладку, называется плоским. Граф, изоморфный плоскому, называется планарным. На рис.39 (а) изображен планарный граф, (б) и (в) – две его плоские укладки.

1. Любой простой планарный граф можно уложить на плоскости так, чтобы его ребра были прямолинейными отрезками.

Укладка графа на плоскости равносильна его укладке на сфере, поскольку существует взаимно–однозначное соответствие точек сферы и плоскости, устанавливаемое стереографической проекцией.

Два основных непланарных графа: полный граф К₅ и полный двудольный граф К_3,3 называют графами Куратовского.

2. Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфа, стягиваемого к одному из графов Куратовского.

Укладка планарного графа на плоскости делит её на области, называемые гранями. Если грань имеет конечную площадь, назовем её конечной, иначе – бесконечной гранью. На рис.40 конечные грани – это g₁, g₂, g₃, а g₄ – бесконечная грань. Соотношение между числом вершин, ребер и граней в планарном графе было установлено Эйлером.

3. (Формула Эйлера) Если связный граф планарен и имеет v вершин, r ребер и g граней, то v – r + g = 2.

Доказательство проводится индукцией по числу ребер.

Пусть r=0. Тогда в планарном связном графе имеется только одна вершина и одна бесконечная грань. И утверждение теоремы верно.

Пусть теперь теорема верна для любого связного планарного графа с (r ­‑1) ребрами. Добавим к графу еще одно ребро е. При этом возможно три случая:

а) е – петля, тогда число вершин остается неизменным, число граней увеличивается на единицу, и, поскольку число ребер также увеличилось на единицу, формула остается верной;

б) е соединяет две различные вершины графа. Тогда одна из граней расщепляется на две, добавляя единицу к g. Число вершин неизменно, а число ребер увеличилось на единицу. И теорема верна.

в) е – висячее ребро. Тогда число вершин увеличивается на единицу, число граней остается прежним и, поскольку число ребер также увеличилось на единицу, формула снова верна.

Следствие 1. Пусть G – планарный граф с v вершинами, r ребрами, g гранями и k компонентами. Тогда v – r + g = k +1.

Доказательство. Применяя теорему Эйлера для каждой отдельной компоненты, получим: (*) v_i – r_i + g_i = 2, где i=1,2,,k – номер компоненты. При этом , . И, поскольку для каждой компоненты учитывается бесконечная грань, то общее число граней . Просуммируем (*) по числу компонент: . Отсюда или . И утверждение доказано.

Следствие 2. Если G – связный простой планарный граф с r ребрами, g гранями и v вершинами, где , то .

Доказательство. По теореме о степенях вершин в графе . Заметим, что каждое ребро ограничивает не более двух граней. Назовем степенью грани число ребер на её границе. Заметим, что понятие степени грани аналогично понятию степени вершины, в связи с чем можно сформулировать аналогичное утверждение о степенях граней: , где g_i – i‑ая грань. Поскольку граф простой, т.е. не имеет петель и параллельных ребер, и число вершин , то степень каждой грани также должна быть больше, либо равна трем. Т.е. deg(g_i)3 для любого i=1,2,,g. Поэтому и отсюда . Но из теоремы Эйлера число граней . Т.о. и отсюда , что и требовалось доказать.

Следствие 3. Графы Куратовского K₅ и K_3,3 не являются планарными.

Доказательство. Число ребер в K₅ равно 10, число вершин – 5. И по следствию 2 получим: 910, что не верно. Поэтому K₅ не может быть планарным. Для графа K_3,3: r=9, v=6, а число граней по теореме Эйлера должно быть равно 9‑6+2=5. Заметим, что в графе K_3,3 нет циклов, короче 4. Поэтому степень каждой грани и . С другой стороны и отсюда . Т.е. , что не верно. Поэтому K_3,3 не может быть планарным.

Следствие 4. В любом простом планарном графе имеется по крайней мере одна вершина степени не более 5.

Доказательство. Пусть граф имеет r ребер и v вершин. Если степень каждой вершины больше 5, то по теореме о степенях вершин , т.е. или . Отсюда , что противоречит следствию 2, где . Поэтому не все вершины графа имеют степень больше 5, и в графе имеется вершина, степень которой меньше, либо равна пяти.

Свойства планарных графов используются в электротехнике. Части электрических цепей, наносимые на одну сторону непроводящей пластины, назовем «печатными схемами». Графы, соответствующие печатным схемам должны быть планарными, поскольку проводники не изолированы и не должны пересекаться. При производстве электрических схем радиоэлектронных устройств путем печатного монтажа важно знать, сколько понадобится печатных схем для комплектования всей электрической сети устройства. Наименьшее число планарных графов, объединение которых даст граф всей сети, называется толщиной графа. Толщина графа эквивалентна числу скрещиваний проводников и является мерой его непланарности. Так толщина планарного графа равна 1.

Из следствия 2 теоремы Эйлера получается оценка снизу для толщины графа, а именно: толщина простого графа , где r и v – число ребер и вершин в графе, а фигурные скобки обозначают ближайшее справа целое число. Эта оценка довольно грубая, но, тем не менее, с помощью неё часто можно получить точные результаты. Так, например, для полного графа K₅ толщина, равная 2, полученная по этой оценке, является истинным значением.