3. Операции над множествами

О бъединением двух множеств A и B (или теоретико-множественной суммой) называется множество, состоящее из всех элементов, являющихся элементами хотя бы одного из множеств A или B. Таким образом, .

Объединением системы множеств называется множество .

Для графического изображения операции объединения множеств используются диаграммы Эйлера-Венна, где множества представлены как замкнутые области, а результат операции показан заштрихованной частью (см. рис.1).

Пересечением двух множеств A и B (или теоретико-множественным произведением) называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A, и B. Таким образом, и .

Диаграмма Эйлера-Венна для пересечения двух множеств показана на рис.2.

Пересечением системы множеств называется множество .

Множества называются дизъюнктными (или непересекающимися), если . Аналогично для системы множеств: множества дизъюнктны, если любые два из них дизъюнктны.

Относительным дополнением множества B до множества A (или теоретико-множественной разностью) называется множество тех элементов A, которые не являются элементами B, таким образом, A \ B и . Диаграмма на рис.3.

Очевидно, что если , то . И в общем случае произвольных множеств A и B имеет место равенство .

Абсолютным дополнением множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A, таким образом, или ℧ \ A, где ℧ –универсальное множество. Диаграмма на рис.4.

Симметрической разностью двух множеств A и B называется объединение двух разностей A \ B и B \ A, т.е. A B= (A \ B)(B \ A). Диаграмма на рис.5.

Примеры:

1) Пусть , . Тогда ; ; ; ; .

2) Пусть - отрезок, - полуинтервал. Тогда ; ; ; ; ; ; .

3) Пусть А – множество прямоугольников, В – множество всех ромбов на плоскости. Тогда ={все прямоугольники и ромбы}; ={все квадраты}; А \ В={прямоугольники, за исключением квадратов}; В \ А={ромбы без квадратов}.

4) Пусть .

Рассмотрим систему множеств тогда ; .

5) Пусть .

Тогда ℝ², .

4. Свойства множественных операций

1) Для любого множества A – свойство «нуля».

2) Для любого множества A  A∪℧ = ℧, A∩℧ = A – свойство «единицы».

3) Для любого множества A – идемпотентность.

4) Для любых множеств А и В и – коммутативность.

5) Для любых множеств А, В и С и – ассоциативность.

6) Для любых множеств А, В и С  и – дистрибутивность объединения и пересечения. Для системы множеств и .

7) Для любого множества A – закон двойного отрицания.

8) а) Для любых множеств А и В и – законы де Моргана для абсолютного дополнения.

б) Для любых множеств А, В и С и – законы де Моргана для относительного дополнения.

в) Обобщенные законы де Моргана: пусть А – фиксированное множество и . Тогда и , т.е. дополнение к объединению равно пересечению дополнений, а дополнение к пересечению равно объединению дополнений.

9) Если .

Если .

Если .

10) Для любых множеств А и В и – законы поглощения.