6. Операции над графами

1 ) Объединение двух графов G=(V, E) и G=(V, E) есть граф S=(V∪V,E∪E).

На рисунке 15 показано объединение двух графов.

2 ) Пересечение двух графов G=(V, E) и G=(V, E) есть граф S=(V∩V,E∩E). См. рис.16.

3) Кольцевая сумма двух графов GG есть граф, не имеющий изолированных вершин и состоящий только из ребер, присутствующих либо в G, либо в G, но не в обоих графах одновременно. Т.о. это ЕЕ реберно-порожденный граф. См. рис.17.

4 ) Относительное дополнение подграфа до графа – это граф, в который входят те ребра основного графа, которых не было в подграфе, а множество вершин совпадает с множеством вершин основного графа. См. рис.18.

5) Абсолютное дополнение – это дополнение до полного графа на том же множестве вершин. Так для графа, изображенного в правой части равенства на рис.18, абсолютное дополнение будет изображаться так, как показано на рис.19.

6 ) Удаление ребра – ребро удаляется из графа, а инцидентные ему вершины остаются. См.рис.20.

7 ) Удаление вершины – вершина удаляется из графа вместе со всеми инцидентными ей ребрами. См. рис.21.

8 ) Отождествление (замыкание) вершин – при замыкании двух вершин, эти вершины удаляются из графа и заменяются одной новой, при этом ребра, инцидентные исходным вершинам, теперь будут инцидентны новой вершине.

9 ) Стягивание ребра – ребро удаляется, а его концевые вершины отождествляются. На рисунке 23 последовательно стягиваются ребра е₁, е₃, е₂.

7. Маршруты, пути и циклы в графах

Маршрутом в графе G=(V, E) называется конечная последовательность смежных ребер вида: (v₀,v₁), (v₁,v₂), (v₂,v₃), ,(v_k‑1,v_k), или маршрутом можно считать такую последовательность вершин: (v₀,v₁,,v_k), что любая пара вершин (v_i‑1,v_i), где 1 i  k является ребром графа G. Такой маршрут называется (v₀‑v_k)–маршрутом, а вершины v₀ и v_k –начальной и конечной или терминальными вершинами маршрута. Все другие вершины маршрута называются внутренними. Заметим, что ребра и вершины в маршруте могут повторяться.

Маршрут называется открытым, если его концевые вершины различны, и замкнутым или циклическим в противном случае.

Открытый маршрут называют цепью, если все ребра в нем различны (вершины могут повторяться).

Цепь, в которой не повторяются вершины, называется путем (простой цепью).

Замкнутая цепь называется циклом, замкнутый путь – простым циклом (в орграфе – контуром). Ребро графа называется циклическим, если в графе существует цикл, содержащий это ребро.

Неорграф без циклов называется ациклическим, орграф без контуров – бесконтурным.

Длиной маршрута (пути, цикла) называется число содержащихся в нем ребер. Наименьшая из длин простых циклов называется обхватом графа.

Пример:

Для графа на рис.24: открытый маршрут: (v₂,v₄,v₁,v₂,v₃,v₄,v₁)

Замкнутый маршрут: (v₂,v₃,v₅,v₄,v₃,v₂)

Открытая цепь: (v₂,v₅,v₁,v₂,v₄)

Замкнутая цепь (цикл): (v₂,v₄,v₁,v₂,v₃,v₅,v₂)

Путь: (v₂,v₅,v₁,v₄,v₃)

Простой цикл: (v₂,v₅,v₁,v₃,v₂). Обхват графа равен 3.

8. Некоторые свойства маршрутов, путей и циклов

а) В пути все вершины, кроме терминальных, имеют степень 2, а терминальные – 1.

б) Любая вершина цикла имеет степень 2 или другую четную степень.

в) Число вершин в пути на единицу больше, чем ребер, а в простом цикле число ребер равно числу вершин.

		v1	v2	v3	v4
	v1	0	0	0	1
S=	v2	1	0	1	1
	v3	0	1	0	0
	v4	1	1	0	0

г) Если S – матрица смежности графа G, то (i,j)‑ый элемент матрицы S^k равен числу (v_i‑v_j)маршрутов длины k.

Пример: по заданной матрице смежности определить число маршрутов длины 3 между любой парой вершин в графе.

Вычислим последовательно степени матрицы S.

Из полученной матрицы S³ следует, что имеется один (v₁‑v₁)-маршрут длины 3, три (v₂‑v₁)-маршрута длины 3, один (v₃‑v₁)-маршрут длины 3, два (v₄‑v₁)-маршрута длины 3 и т.д.. Все маршруты легко восстанавливаются по матрицам S³, S² и S. Восстановим, например, (v₃‑v₁)-маршрут: элемент , равный единице, был получен в результате умножения элементов и , в свою очередь элемент получился путем умножения и . Тем самым, в формировании элемента участвовали элементы , и матрицы смежности, поэтому (v₃‑v₁)-маршрут есть последовательность вершин (3,2,4,1). Наглядным подтверждением полученного решения является рисунок 25.