2. Способы задания множества

Все элементы некоторого определенного множества обладают некоторым свойством, общим для всех элементов этого множества. Например: множество всех четных чисел; множество всех белых гусей; множество букв русского алфавита. Поэтому для задания множества можно:

1) либо задать свойство, которым должны обладать все его элементы;

2) либо указать (перечислить) все элементы этого множества.

Оба этих подхода, в сущности, представляют одно и то же, разница лишь во внешнем оформлении.

Тот факт, что х является элементом множества М, записывается так: хМ. В этом случае говорят, что х входит в М, содержится в М или принадлежит М. Если х не является элементом множества М, то пишут хМ.

То, что некоторое множество М состоит из элементов x, y, …, t,… записывают так: М={x,y,…,t,…}, где многоточием обозначаются не выписанные элементы. Например: A={a,b,c}, M={2,4,6,8,10,…}.

Если элементы множества обозначаются при помощи некоторых индексов, например: х_, х_,…,х_,…, то пишут также: М=х__, где =, ,…,,… – множество индексов.

Совокупность множеств М_, М_,…,М_,… = М__ - называется системой множеств (где Г=, ,…,,… – индексное множество).

То, что множество состоит из элементов, обладающих некоторым свойством, записывают так: М={x: ………}, где на месте многоточия перечисляют свойства элементов. Читается это так: «множество М состоит из элементов х, таких, что…». Например: M={x: x=a/2 , где а и xℤ}.

Для некоторых числовых множеств имеются свои способы записи:

Отрезок числовой оси: [a, b]={x: a ≤ x ≤ b , где a,b,xℝ и a ≤ b }.

Интервал: (a, b)={x: a < x < b , где a,b,xℝ и a < b }.

Полуинтервал: (a, b]={x: a < x ≤ b , где a,b,xℝ и a < b },

или [a, b)={x: a ≤ x < b, где a,b,xℝ и a < b },

или (-∞, b]={x: x ≤ b и b,xℝ },

или [a, +∞)={x: x ≥ a и a,xℝ }.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. A=B тогда и только тогда, когда для любого элемента aA следует: aB, и для любого элемента bB следует: bA.

Таким образом, множество однозначно определяется своими элементами и не зависит от порядка их записи. Например, множество из трех элементов a, b и c допускает 6 видов записи: {a,b,c}= {a,c,b}= {b,a,c}= {b,c,a}= {c,a,b}= {c,b,a}.

Если все элементы множества A являются одновременно элементами множества B, то A называется подмножеством или частью множества B.

Пишут AB или ВА, читается: А входит в В, или А содержится в В, или В содержит А, или В покрывает А. Множество В называется в этом случае надмножеством А. Таким образом, AB тогда и только тогда, когда для любого элемента aA следует: aB.

Очевидно, если AB и ВА, то А=В.

Пустое множество является подмножеством любого множества, а любое множество является одним из своих подмножеств.

Если AB и АВ, то А называется собственным подмножеством множества В, а В – собственным надмножеством множества А.

Пишут AB или ВА. Таким образом, AB тогда и только тогда, когда для любого элемента aA следует: aB, и существует элемент bB такой, что bA. Символическая запись последней фразы: AB  aA => aB и bB: bA.

Множество всех подмножеств данного множества А называется булеаном А и обозначается 2^А. Число элементов в булеане конечного множества из n элементов равно 2ⁿ.

Множество, являющееся надмножеством любого множества в данном рассуждении, называют универсальным множеством или универсумом и обозначают ℧.