7. Циклические подгруппы

Ввиду ассоциативности действия в группе (полугруппе) можно говорить о «произведении» трех элементов (а◦b◦c) =(а◦b)◦c = а◦(b◦c). Аналогично вводится понятие сложного произведения из n элементов: а₁◦а₂◦…◦а_n = ◦ а_n = = ◦.

Произведение n одинаковых элементов группы называется степенью элемента и обозначается aⁿ=. Это определение имеет смысл для любого натурального n. Для любого элемента группы aG обозначают а⁰=е – нейтральный элемент группы G. А отрицательные степени элемента a^‑n определяют как (a^‑1)ⁿ или (aⁿ)^‑1, где a^‑1 – обратный элемент к а. Оба определения a^‑n совпадают, т.к. aⁿ ◦(a^‑1)ⁿ = (а◦а◦ ◦а)◦(a^‑1◦a^‑1◦ ◦a^‑1) = а◦а◦◦(а◦a^‑1)◦a^‑1◦◦a^‑1 =еⁿ =e. Таким образом, (a^‑1)ⁿ = (aⁿ)^‑1.

В аддитивной группе аналогом степени элемента aⁿ будет n‑кратное к нему, обозначаемое обычно na, которое не стоит воспринимать как произведение n на а, поскольку nℕ и, возможно, nG. Т.о. na⇋, где nℕ, и 0а=е⇋0, и (‑n)a = ‑(na) = n(‑a) для любого натурального n, где (‑a) – обратный к aG.

Легко показать, что при выбранных обозначениях для любых целых чисел m и n и для любого aG выполняются известные свойства: а) при мультипликативной записи aⁿ ◦a^m = a^n +m и (aⁿ)^m = a^nm; б) при аддитивной записи na+ma = (n+m)a и n(ma)=(nm)a.

Рассмотрим подмножество группы G, составленное из всех степеней произвольного элемента gG. Обозначим его А_g. Таким образом, А_g ={g⁰, g¹, g^‑1, g², g^‑2,}. Очевидно, А_g является подгруппой группы G, т.к. для любых элементов х,уА_g следует, что (х◦у)А_g, и для любого элемента хА_g найдется х^‑1А_g, кроме того, g⁰=еА_g.

Подгруппа А_g называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом g. Эта подгруппа всегда коммутативна, даже если сама G не коммутативна. Если группа G совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то она называется циклической группой, порожденной элементом g.

Если все степени элемента g различны, то группа G называется бесконечной циклической группой, а элемент g – элементом бесконечного порядка.

Если среди элементов циклической группы имеются равные, например, g^k=g^m при k>m, то g^k‑m=e; и, обозначив k-m через n, получим gⁿ=e, nℕ.

Наименьший натуральный показатель n такой, что gⁿ=e, называется порядком элемента g, а сам элемент g называется элементом конечного порядка.

Такой элемент всегда найдется в конечной группе, но может быть и в бесконечной группе.

Группы, все элементы которых имеют конечный порядок, называются периодическими.

Так как любой элемент конечной группы имеет конечный порядок, то все конечные группы являются периодическими. Кроме того, периодическими являются все циклические подгруппы конечной группы, поскольку они конечны, и каждый элемент конечного порядка n порождает циклическую группу того же порядка n, состоящую из элементов {g⁰, g¹, g²,, g^n‑1}. Действительно, если бы число элементов было бы равно некоторому k<n, тогда g^k=e=gⁿ, что противоречит выбору n, как наименьшей степени такой, что gⁿ=e; с другой стороны, k>n также невозможно, т.к. в этом случае имелись бы одинаковые элементы.

Утверждение: 1) все степени g⁰, g¹, g²,, g^n‑1 различны, т.к. если бы имелись равные, например, gⁱ=g^j (i>j), то g^i‑j=e, но (i‑j)<n, а по определению n – наименьшая степень такая, что gⁿ=e.

2) Всякая другая степень g, положительная или отрицательная, равна одному из элементов g⁰, g¹, g²,, g^n‑1, т.к. любое целое число k можно представить выражением: k=nq+r, где q,rℤ и 0r<n, r – остаток и g^k=g^nq+r= g^nq _ g^r= (gⁿ)^q _ g^r= e^q _ g^r= g^r.

Примеры:

1) Всякая группа обладает единственным элементом первого порядка {e}, порождающим циклическую подгруппу первого порядка, состоящую из одного элемента е.

2) Рассмотрим группу подстановок S₃, состоящую из элементов: , , , , , . Порядок S₃=6. Порядок элемента а равен 2, т.к. . Порядок элемента b также равен 2, т.к. . Порядок элемента с равен 3, т.к. и . Порядок элемента f также равен 3, т.к. и . И, наконец, порядок d равен 2, т.к. . Тем самым, циклические подгруппы S₃, порожденные элементами e, a, b, d, c и f, соответственно равны: {e}, {e, a}, {e, b}, {e, d}, {e, c, f} и {e, f, c}, где последние две совпадают. Заметим также, что порядок каждой циклической подгруппы делит порядок группы без остатка. Справедлива следующая теорема.

1. (Лагранжа) Порядок конечной группы делится на порядок любого её элемента (т.к. порядок элемента и порядок циклической подгруппы, порожденной им, совпадают).

Отсюда также следует, что любой элемент конечной группы при возведении в степень порядка группы дает единицу группы. (Т.к. g^m=g^nk=e^k=e, где m – порядок группы, n – порядок элемента g, k – целое число).

В группе S₃ подгруппа Н={e, c, f} является нормальным делителем, а подгруппы 2‑го порядка нормальными делителями не являются. Это легко проверить, найдя левый и правый классы смежности по Н для каждого элемента группы. Например, для элемента а левый класс смежности Н_а={е ◦ а, с ◦ а, f ◦ a} = {а, b, d} и правый класс смежности _аН={а ◦ е, а ◦ c, а ◦ f} = {а, d, b} совпадают. Аналогично для всех остальных элементов S₃.

3) Множество всех целых чисел со сложением образует бесконечную циклическую группу с порождающим элементом 1 (или –1), т.к. любое целое число кратно 1.

4) Рассмотрим множество корней n‑ой степени из единицы: Е_n=. Это множество является группой относительно операции умножения корней. Действительно, произведение любых двух элементов _k и _m из E_n, где k, m  n‑1, также будет элементом E_n, поскольку = = , где r=(k+m) mod n и r  n‑1; умножение ассоциативно, нейтральный элемент е=₀=1 и для любого элемента _k имеется обратный и . Эта группа циклическая, её порождающим элементом является первообразный корень . Нетрудно видеть, что различными являются все степени: , далее для kn корни начинают повторяться. На комплексной плоскости корни расположены на окружности единичного радиуса и делят её на n равных дуг, как показано на рисунке 11.

Последними двумя примерами исчерпываются по существу все циклические группы. Поскольку справедлива следующая теорема.

2. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Все конечные циклические группы порядка n изоморфны между собой.

Доказательство. Пусть (G, ∘ ) – бесконечная циклическая группа с порождающим элементом g. Тогда существует биективное отображение f: ℤ  G такое, что для любых целых чисел k и m их образы f(k) и f(m), равные соответственно g^k и g^m, являются элементами G. И при этом f(k+m)=f(k)∘f(m), поскольку g^k+m=g^k∘ g^m.

Пусть теперь (G, ∘ ) – конечная циклическая группа порядка n с порождающим элементом g. Тогда каждому элементу g^kG единственным способом можно сопоставить элемент _kE_n (0k<n), по правилу f(g^k)=_k. И при этом для любых g^k и g^mG следует, что f(g^k∘ g^m)= f(g^k) ∘ f(g^m), поскольку f(g^k∘ g^m)= f(g^k+m)= f(g^r), где r=(k+m) mod n, и f(g^r)=_r=_k_m. Понятно, что такое сопоставление является биективным отображением.