- •1. Действительные числа. Модуль действительного числа и его свойства.
- •3. Числовая последовательность и ее предел. Единственность предела.
- •4. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
- •5. Арифметические операции над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух последовательностей.
- •6. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами: теорема о трех последовательностях, предельный переход в неравенствах.
- •7. Бесконечно малые последовательности. Необходимое и достаточное условие существование предела последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •8. Бесконечно большие последовательности. Неограниченные последовательности. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
- •9. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число «е».
- •10. Подпоследовательность. Верхний и нижний пределы последовательности.
- •11. Общее понятие функции. Числовые функции и их свойства. Элементарные функции и их графики.
- •12. Предел функции в точке. Единственность предела.
- •13. Бесконечно малые функции и их свойства. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке. Сравнение бесконечно малых функций. Таблица эквивалентности.
- •14. Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций. Неограниченные функции.
- •15. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел в точке. Теоремы о пределах функций, связанные с арифметическими действиями. Теоремы о пределах функций, связанные с неравенствами.
- •16. Первый замечательный предел. Следствия.
- •17. Второй замечательный предел. Следствия.
- •18. Непрерывность функции в точке.
- •19. Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация.
- •20. Свойства функций, непрерывных в точке: непрерывность суммы, произведения и частного. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Непрерывность композиции.
- •21. Обратная функция. Непрерывность функции, обратной к строго монотонной.
- •22. Непрерывность основных элементарных функций: линейной, рациональной, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических, гиперболических.
- •23. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
22. Непрерывность основных элементарных функций: линейной, рациональной, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических, гиперболических.
Все основные элементарные функции непрерывны:
1) линейная: y=C (C=const) непрерывна на R, т.к. Δf=C-C=0 и по определению
lim Δx → 0 Δf=0
2) рациональная: y=Pn(x)/Qm(x) (Qm(x)≠0) непрерывна на области определения как частное двух непрерывных функций, представляющих собой сумму конечного числа непрерывных функций
3) степенная: y=xα, αR, непрерывна на R+, т.к. xα=(еlnx)α=еαlnx как композиция двух непрерывных функций непрерывна
4) показательная: y=ax, xR, непрерывна на R
ах – ахо = ахо (ах-хо – 1) = ахо ((x – x0)lna + о(x – х0)).
Эта разность - БМ функция при x х0, следовательно, ах ахо при x х0, т.е. функция непрерывна.
5) логарифмическая: y=logax непрерывна на R+
logax – logax0 = loga(х/х0) = loga(х0 + (х – х0))/х0 = loga (1 + (х – х0)/х0) ~ (х – х0)/х0lna 0 при х x0 > 0.
6) тригонометрические:
a) y=sinx
Пусть х0R.
f = f(x0+Δx) – f(x0) = sin(x0+Δx) – sinx0 = 2sin(Δx/2)*cos(2x0+Δх)/2
При Δх→0 sin(Δx/2)→0, а cos(2x0+Δх)/2 – ограниченная функция. Следовательно, функция непрерывна по определению.
б) y=cosx
y=sin(π/2-x) – непрерывна как композиция непрерывных функций.
в) y=tgx и y=ctgx непрерывны на области определения как частное двух непрерывных функций
7) обратные тригонометрические: непрерывны как обратные к непрерывным монотонным функциям.
8) гиперболические: Гиперболические функции непрерывны (thx в точках, в которых shx0), так как они определяются через непрерывную функцию ex. Обратные гиперболические функции непрерывны, так как они выражаются через непрерывную функцию lnx.
23. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Функцию f(x) называют непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.
Свойства:
1) Ограниченность непрерывной функции: Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
2) Достижение точных граней (теорема Вейерштрасса): Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своей точной верхней и нижней граней (наибольшего и наименьшего значений).
3) Нули непрерывной функции (теорема Больцано-Коши): Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то на этом отрезке имеется хотя бы один нуль функции.
4) Промежуточные значения функции: Если функция непрерывна на отрезке и f(a)≠f(b), то для любого С(m; M) найдется такое с[a; b], что f(c)=C.