1. Производная, ее геометрический, механический, экономический смысл. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.

1) Задача о касательной (геометрический смысл производной).

Пусть на плоскости Оху дана непрерывная кривая y=f(x) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке M₀(x_0, f(x₀)).

Выберем на кривой у = f(х) точку М(х; f(х)), близкую к точке М₀. Проведем секущую М₀М.

Если М→М₀ по кривой, то х→х₀.

k_сек = tgβ = MK/MK0 = (f(x)-f(x₀))/(x-x₀)

Касательной к кривой y= f(x) в точке М₀ называется предельное положение секущей M₀M при приближении точки M к точке М₀, т.е. при х  0.

k_кас = lim _х→xо k_сек = lim _х→х0 (f(x)-f(x₀))/(x-x₀)

2) Задача о скорости движения (механический смысл производной).

S=t – закон прямолинейного равномерного движения.

Но на практике движение чаще всего неравномерное.

Пусть некоторая материальная точка М совершает неравномерное прямолинейное движение по прямой. Найдем скорость движения точки М в данный момент:

_ср = (S(t)-S(t₀))/(t-t₀)

_мгн = lim_t→tо (S(t)-S(t₀))/(t-t₀)

3) Задача о производительности труда (экономический смысл производной).

Пусть функция и = u(t) выражает количество произведенной продукции и за время t и необходимо найти производительность труда в момент t₀.

z_ср = (u(t)-u(t₀))/(t-t₀)

z_мгн = lim_t→tо (u(t)-u(t₀))/(t-t₀)

Пусть функция у = f(х) определена на промежутке X. Возьмем точку xХ. Дадим значению x приращение х  0, тогда функция получит приращение y = f(x+x) – f(x)_.

Производной функции у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

y = lim _Δx→0 y/x = lim _Δx→0 (f(x+x) – f(x))/x

Т.к. предел в точке есть число, то производная в точке также есть число. В каждой точке промежутка будут получаться различные значения предела.

Производная на интервале есть функция.

Предел может и не существовать. Это значит, что функция в данной точке не имеет производную.

Если существует предел справа или предел слева, то это значит, что существуют односторонние производные справа или слева.

Из задачи о производительности труда следует, что производная объема произведенной продукции по времени u'(t₀) есть производительность труда в момент t₀.

Из задачи о скорости движения следует механический смысл производной: производная пути по времени s(t₀) есть скорость точки в момент t₀:

(t₀)= s'(t₀).

Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл производной: производная f'(х₀) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке х₀,т.е. k = f '(х₀).

Тогда уравнение касательной к кривой y = f (x) в точке х₀ примет вид

y – f(х₀) = f'(х₀)(x – x₀)

или

y = f(х₀) + f'(х₀)(x – x₀)

Условия перпендикулярности двух прямых.

Если прямые L₁ и L₂ перпендикулярны, то

₂ = /2 + ₁,

tg₂ = tg(/2+₁) = – ctg₁ – 1/ tg₁,

т.е.

k₂ = – 1/k₁

Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Тогда уравнение перпендикуляра к касательной (нормали) к кривой y = f(x) в точке х₀ примет вид

y – f(х₀) = – (x – x₀)/f '(х₀)