5. Производные основных элементарных функций. Таблица производных.

6. Дифференциал. Инвариантность формы дифференциала первого порядка. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Пусть функция у=f(x) имеет в точке х₀ конечную производную.

y/x = f (х₀) + (х)

y = f (x)x + (х) x.

Таким образом, приращение функции y состоит из двух слагаемых:

1) линейного относительно x;

2) нелинейного (т.к. степень x неизвестна).

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно х часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной: dy = f (х)х.

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Если у = х, то dy = dx = x'х, откуда dx = х.

Поэтому формулу для дифференцирования функции можно записать в виде dy = f '(x) dx.

Рассмотрим функцию y = f(u), где аргумент u = (x) сам является функцией от x, т.е. рассмотрим сложную функцию y = f(g(x)). Если y = f(u) и и = g(x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна y' = f'(u)u'.

Тогда дифференциал функции

dy = f (x) dx = f '(u) u'dx = f '(u) du,

dy = f (u) du.

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной x рассматривать функцию от зависимой переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы (или формулы) дифференциала.

Из изложенного выше следует, что у = dy +(x)x, т.е. приращение функции у отличается от ее дифференциала dy на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем dy = f (x) x.

Поэтому при достаточно малых значениях x у  dy или

f(x +x) – f(x)  f '(x) x,

откуда

f(x +x)  f(x) + f '(x) x – формула приближенных вычислений.

7. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производная f '(x) от функции f(x) называется производной первого порядка. Но производная f '(x) сама является функцией, которая также может иметь производную.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n–1)-го порядка.

Обозначение производных: f (x) – второго порядка (или вторая производная), f (x) – третьего порядка (или третья производная).

Для обозначения производных более высокого порядка ис­пользуются арабские цифры в скобках или римские цифры, например, f ⁽⁴⁾(x),..., f ⁽ⁿ⁾(x) или f ^IV(x) и т.д.

f(x) – производная нулевого порядка.

Формулы производныx высших порядков:

1) (e^x) = e^x

(e^x) = (e^x) = e^x

(e^x)⁽ⁿ⁾ = e^x

2) (a^x) = a^x*lna

(a^x) = (a^x*lna) = lna(a^x) = a^x*ln²a

(a^x)⁽ⁿ⁾ = a^x*lnⁿa

3) (sinx) = cosx

(sinx) = - sinx

(sinx) = - cosx

(sinx)^IV = sinx

(sinx)⁽ⁿ⁾ = sin(x+πn/2)

4) (cosx)⁽ⁿ⁾ = cos(x+πn/2)

5) (xⁿ) = nx^n-1

(xⁿ)^(m) = n(n-1)…(n-n+1)x^n-m, m<n

(xⁿ)^(m) = n!, m=n

(xⁿ)^(m) = 0, m>n

5) (f*g)⁽ⁿ⁾ = Σ_k=0ⁿ C_n^k f^(k)*g^(n-k), C_n^k = n!/(k!*(n-m)!) – формула Лейбница для производных высших порядков.

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

Форма дифференциала второго порядка не инвариантна.