10. Подпоследовательность. Верхний и нижний пределы последовательности.

Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называется подпоследовательностью заданной последовательности.

Если вместо множества всех натуральных чисел взять некоторое его бесконечное подмножество n_k, k =1,2,..., n_k < n_k+1, то получим подпоследовательность x_nk.

Например, x_n = {n} = 1,2,3,...,n,...

x_nk = {1,3,...,2n-1,...}

Предел  любой подпоследовательности, если он существует, называется частичным пределом данной последовательности.

Частичный предел последовательности называется предельной точкой данной последовательности.

Точка aR называется предельной точкой последовательности x_n, если в любой -окрестности этой точки содержится бесконечно много элементов последовательности x_n.

Если последовательность сходится, то она имеет единственную предельную точку. Если x_n не является сходящейся, то она может иметь несколько предельных точек (и вообще бесконечно много предельных точек).

Например, последовательность x_n=(-1)ⁿ имеет два частичных предела (или две предельные точки) – 1 и -1.

Если последовательность ограничена сверху, то множество всех частичных пределов тоже ограничено сверху. Можно доказать, что это множество обязательно содержит максимальный элемент. Этот максимальный элемент называется верхним пределом последовательности и обозначается lim _{n → ∞} x_n.

Если последовательность не ограничена сверху, то lim _{n → ∞} x_n = +∞.

Аналогично определяется lim _{n → ∞} x_n – нижний предел последовательности. Если последовательность не ограничена снизу, то lim _{n → ∞} x_n = -∞.

Нижним пределом последовательности называется наименьший частичный предел последовательности. Верхним пределом последовательности называется наибольший частичный предел последовательности.

Условие существования предела последовательности эквивалентно условию равенства верхнего и нижнего пределов этой последовательности.

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности действительных чисел, можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

11. Общее понятие функции. Числовые функции и их свойства. Элементарные функции и их графики.

Если каждому элементу х множества Х (х  Х) ставится в соответствие вполне определенный элемент множества У (у  У), то говорят, что на множестве Х задана функция y=f(x).

При этом х называется независимой переменной (или аргументом), у – зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия. Множество Х называется областью определения функции, а множество У – областью значений функции.

Способы задания функции:

1) аналитический – формулой;

2) табличный;

3) графический;

4) словесный.

Основные свойства функций:

1) четность и нечетность:

Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-x)=f(x), и нечетной, если f(-x)=-f(x).

2) монотонность:

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значений функции.

3) ограниченность:

Функция y=f(x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М, что |f(x)|≤M.

4) периодичность:

Функция y=f(x) называется периодической с периодом Т≠0, если для любых х из области определения функции f(x+T)=f(x).

Основные элементарные функции:

1) степенная

2) показательная

3) логарифмическая

4) тригонометрические

5) обратные тригонометрические

6) гиперболические

7) обратные гиперболические