- •1. Действительные числа. Модуль действительного числа и его свойства.
- •3. Числовая последовательность и ее предел. Единственность предела.
- •4. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
- •5. Арифметические операции над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух последовательностей.
- •6. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами: теорема о трех последовательностях, предельный переход в неравенствах.
- •7. Бесконечно малые последовательности. Необходимое и достаточное условие существование предела последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •8. Бесконечно большие последовательности. Неограниченные последовательности. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
- •9. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число «е».
- •10. Подпоследовательность. Верхний и нижний пределы последовательности.
- •11. Общее понятие функции. Числовые функции и их свойства. Элементарные функции и их графики.
- •12. Предел функции в точке. Единственность предела.
- •13. Бесконечно малые функции и их свойства. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке. Сравнение бесконечно малых функций. Таблица эквивалентности.
- •14. Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций. Неограниченные функции.
- •15. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел в точке. Теоремы о пределах функций, связанные с арифметическими действиями. Теоремы о пределах функций, связанные с неравенствами.
- •16. Первый замечательный предел. Следствия.
- •17. Второй замечательный предел. Следствия.
- •18. Непрерывность функции в точке.
- •19. Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация.
- •20. Свойства функций, непрерывных в точке: непрерывность суммы, произведения и частного. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Непрерывность композиции.
- •21. Обратная функция. Непрерывность функции, обратной к строго монотонной.
- •22. Непрерывность основных элементарных функций: линейной, рациональной, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических, гиперболических.
- •23. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
4. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
Необходимое условие сходимости: Если последовательность сходится, то она ограничена.
(lim n → ∞ xn = a) => ((xn) ограничена)
Доказательство:
( > 0) ( NN) | ( n > N): |хn - а| <
Пусть =1. Тогда |хn - а| < 1.
Оценим хn: |хn| = |хn – a + a| ≤ |хn – a| + |a| ≤ 1 + |a|
Обозначим C = max{1 + |a|; |х1|; |х2|; …: |хn|} => |хn| < C => (хn) ограничена.
Обратное утверждение неверно: например, хn=(-1)n
5. Арифметические операции над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух последовательностей.
Если lim n → ∞ xn = a и lim n → ∞ yn = b, то:
1) lim n → ∞ (xn ± yn)= a ± b
2) lim n → ∞ (xn * yn)= a * b
3) lim n → ∞ (xn / yn)= a / b (yn ≠ 0; b ≠ 0)
Т1: Предел суммы равен сумме пределов.
Доказательство:
(lim n → ∞ xn = а) ( > 0) ( N1N) | ( n > N1): |хn - а| < /2;
(lim n → ∞ yn = b) (для выбранного > 0) ( N2N) | ( n > N2): |yn - b| < /2.
|(xn + yn) – (a + b)| = |xn – a + yn – b| ≤ |xn – a| + |yn – b|
N = max {N1; N2}, тогда n > N |xn – a| + | yn – b| < /2 + /2 = .
Итак, для любого > 0 нашелся номер N (как наибольший из номеров N1 и N2) такой, что для всех номеров n больше этого номера выполняется неравенство: |( xn + yn) – (a + b)| < .
Т2: Предел произведения равен произведению пределов.
Доказательство:
(lim n → ∞ xn = а) ( > 0) ( N1N) | ( n > N1): |хn - а| < /2;
(lim n → ∞ yn = b) (для выбранного > 0) ( N2N) | ( n > N2): |yn - b| < /(2|a|).
|xn*yn – a*b| = |xn – a*yn + a*yn – a*b| ≤ | yn|*|xn – a| + |a|*|yn – b|.
Т.к. (yn) – сходящаяся, то она ограничена => c >0: |yn| < c.
N = max { N1; N2}, тогда
n > N |xn*yn – a*b| ≤ | yn|*|xn – a| + |a|*|yn – b| < c*/(2c) + |a|*/(2|a|) = .
Итак, для любого > 0 нашелся номер N (как наибольший из номеров N1 и N2) такой, что для всех номеров n больше этого номера выполняется неравенство: |xn*yn – a*b| < .
Т3: Предел частного равен частному пределов.
6. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами: теорема о трех последовательностях, предельный переход в неравенствах.
Теорема о трех последовательностях: Если последовательности (xn), (yn) и (zn) таковы, что xn≤yn≤zn для всех n > n0 и lim n → ∞ xn = lim n → ∞ zn = а, то lim n → ∞ yn = а.
Доказательство:
Т.к. lim n → ∞ xn = а, то ( > 0) ( N1N) | ( n > N1) выполняется неравенство
|хn - а| < , т.е. - < хn – а < => a - < хn.
Т.к. lim n → ∞ zn = а, то по выбранному > 0 ( N2N) | ( n > N2) выполняется неравенство |zn - а| < , т.е. - < zn – а < => zn < a + .
Выбираем N = max {N1; N2}.
n > N a - < хn ≤ yn ≤ zn < a + => yn (a - ; a + ), что по определению означает, что lim n → ∞ yn = а.
Предельный переход в неравенствах: Если lim n → ∞ xn = а и xn ≥ p ( n > n0), то a ≥ p.
Доказательство:
Предположим противное: = p – a > 0.
Т.к. lim n → ∞ xn = а, то по определению ( > 0, = p – a) ( N1N) | ( n > N1)
выполняется неравенство |хn - а| < p – a.
a – p < хn - а < p – a
хn < p, что противоречит условию xn ≥ p. Значит, a ≥ p.