- •1. Действительные числа. Модуль действительного числа и его свойства.
- •3. Числовая последовательность и ее предел. Единственность предела.
- •4. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
- •5. Арифметические операции над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух последовательностей.
- •6. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами: теорема о трех последовательностях, предельный переход в неравенствах.
- •7. Бесконечно малые последовательности. Необходимое и достаточное условие существование предела последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •8. Бесконечно большие последовательности. Неограниченные последовательности. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
- •9. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число «е».
- •10. Подпоследовательность. Верхний и нижний пределы последовательности.
- •11. Общее понятие функции. Числовые функции и их свойства. Элементарные функции и их графики.
- •12. Предел функции в точке. Единственность предела.
- •13. Бесконечно малые функции и их свойства. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке. Сравнение бесконечно малых функций. Таблица эквивалентности.
- •14. Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций. Неограниченные функции.
- •15. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел в точке. Теоремы о пределах функций, связанные с арифметическими действиями. Теоремы о пределах функций, связанные с неравенствами.
- •16. Первый замечательный предел. Следствия.
- •17. Второй замечательный предел. Следствия.
- •18. Непрерывность функции в точке.
- •19. Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация.
- •20. Свойства функций, непрерывных в точке: непрерывность суммы, произведения и частного. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Непрерывность композиции.
- •21. Обратная функция. Непрерывность функции, обратной к строго монотонной.
- •22. Непрерывность основных элементарных функций: линейной, рациональной, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических, гиперболических.
- •23. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
7. Бесконечно малые последовательности. Необходимое и достаточное условие существование предела последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей.
Последовательность (αn) называется бесконечно малой, если lim n → ∞ αn = 0.
lim n → ∞ αn = 0 ( > 0) ( N() = NN) такой, что n > N выполняется |αn| < .
Необходимое и достаточное условие существование предела: lim n → ∞ xn = а тогда и только тогда, когда существует бесконечно малая последовательность (αn) такая, что xn = a +αn.
Доказательство:
1) Необходимость.
Пусть lim n → ∞ xn = а. Это значит, что
( > 0) ( NN) | ( n > N): |хn - а| < .
Обозначим хn – а = αn. Тогда xn = a +αn и ( > 0) ( NN) | ( n > N): |αn| < , т.е. (αn) – бесконечно малая последовательность.
2) Достаточность.
Пусть xn = a + αn, где(αn) – бесконечно малая последовательность, т.е.
( > 0) ( NN) | ( n > N): |αn| <
Но так как αn = хn – а, то ( > 0) ( NN) | ( n > N): |хn - а| < , т.е. lim n → ∞ xn = а.
Свойства бесконечно малых последовательностей:
1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
2) Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
3) Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность (в т.ч. на постоянную) есть бесконечно малая последовательность.
8. Бесконечно большие последовательности. Неограниченные последовательности. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
Последовательность (хn) называется бесконечно большой, если lim n → ∞ хn = ∞.
lim n → ∞ xn = ∞ (M > 0) ( N(M) = NN) такой, что n > N выполняется |xn| > M.
Бесконечно большая последовательность есть последовательность неограниченная, но в то же время неограниченная последовательность не обязательно бесконечно большая.
Свойства бесконечно больших последовательностей:
1) Произведение бесконечно большой последовательности на последовательность, предел которой отличен от нуля, есть бесконечно большая последовательность.
2) Сумма бесконечно большой последовательности и ограниченной последовательности есть бесконечно большая последовательность.
3) Частное от деления бесконечно большой последовательности на последовательность, имеющую предел, есть бесконечно большая последовательность.
Теорема: Если последовательность хn – бесконечно большая, то последовательность 1/хn – бесконечно малая. И наоборот.
Доказательство:
1) Достаточно взять = 1/М.
Тогда хn > M
1/хn < 1/M
1/хn < => последовательность 1/хn – бесконечно малая.
2) M = 1/
хn <
1/хn > 1/
1/хn > M => последовательность 1/хn – бесконечно большая.
9. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число «е».
Теорема: Если числовая последовательность (хn) монотонна и ограниченна, то она имеет предел.
Доказательство:
Пусть последовательность (хn) возрастает и ограничена сверху => sup хn – наименьшая из всех верхних границ последовательности.
Покажем, что lim n → ∞ xn =а.
Рассмотрим (а - ; а + ). Хотя бы одно хn принадлежит этой окрестности. В противном случае они находятся слева от (а - ) или справа от (а + ). Тогда а ≠ sup хn.
Т.к. xN (а - ; а + ), то (n > N) хn > xN > а - .
С другой стороны, хn ≤ a = sup хn.
Значит, а - < xN ≤ a.
( > 0) ( NN) | ( n > N) (а - < xn ≤ a < a + )
А это означает, что lim n → ∞ xn =а.
Число «е»: Рассмотрим последовательность xn = (1 + 1/n)n
1) Используя формулу бинома Ньютона, получим:
xn = 1 + n*1/n + n(n-1)/2!*1/n2 + … + n(n-1)…(n-k+1)/k!*1/nk + … + n(n-1)…(n-n+1)/n!*1/nn =
= 1 + 1 + (1-1/n)/2! +…+ 1/k!*(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n) +…+ 1/n!*(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n)
xn+1 = 1 + 1 + (1-1/(n+1))/2! +…+ 1/k!*(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-(k-1)/(n+1)) +…+ 1/n!*(1- -1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-n/(n+1))
Т.к. 1 – k/n < 1 – k/(n+1), то xn+1 > xn, что означает, что последовательность монотонно возрастает.
2) Покажем теперь, что xn ограничена сверху.
Действительно, так как 1 - k/n < 1, то xn < 2 + 1/2! + 1/3! +…+ 1/n!
Но так как n! > 2n-1 (при n ≥ 3), то 1/n! < 1/2n-1 и
xn = 1 + 1 + (1-1/n)/2! +… < 1 + 1 + 1/2!*1 +…+ 1/k! +…+ 1/n! < 1 + 1 + 1/2 + 1/22 +…+ 1/2k-1 +…+ 1/2n-1 = 1 + 1/(1-1/2) = 3
Значит, 2 ≤ xn < 3 – последовательность ограничена и сверху и снизу.
3) Последовательность монотонно возрастает и ограничена, значит, имеет предел.
lim n → ∞ xn = e.