14. Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций. Неограниченные функции.

Функция у=f(x) называется бесконечно большой при х→х₀, если ее предел равен бесконечности.

(f(x) – ББ при х→х₀) (M > 0) ( δ = δ(M) > 0) ( x ≠ x0: |x – x₀| < δ): |f(x)| < M.

Связь ББ и БМ функций: Если функция f(x) – бесконечно большая при х→х₀, то функция 1/f(x) – бесконечно малая при х→х₀. И наоборот.

Доказательство:

1) Достаточно взять  = 1/М.

Тогда |f(x)| > M

|1/f(x)| < 1/M

|1/f(x)| <  => функция 1/f(x) – бесконечно малая.

2) M = 1/

|f(x)| < 

|1/f(x)| > 1/

|1/f(x)| > M => функция 1/f(x) – бесконечно большая.

Бесконечно большая функция есть функция неограниченная, но в то же время неограниченная функция не обязательно бесконечно большая. Например, функция y=x*sinx является неограниченной, но не бесконечно большой, т.к. с ростом аргумента функция все время колеблется, переходя от положительных к отрицательным значениями (и наоборот) и обращаясь в нуль при сколь угодно больших значениях аргумента.

15. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел в точке. Теоремы о пределах функций, связанные с арифметическими действиями. Теоремы о пределах функций, связанные с неравенствами.

Теорема об ограниченности: Если функция f(x) имеет предел в точке х0, то существует такая проколотая окрестность, в которой функция ограничена.

Доказательство:

Пусть =1.

|f(x) – a| < 1

1 - a < f(x) < 1 + a => функция ограничена.

Если lim _{x → xо} f(x) = a и lim _{x → xо} g(x) = b, то:

1) lim _{x → xо} (f(x) ± g(x))= a ± b

2) lim _{x → xо} (f(x)*g(x))= a * b

3) lim _{x → xо} (f(x)/g(x))= a / b (g(x) ≠ 0; b ≠ 0)

Теорема о промежуточной функции: Если функции f(x), g(x), h(x) таковы, что для любого х D, где D=D(f)∩D(g)∩D(h), выполняется неравенство f(x)≤g(x)≤h(x) и lim _{x → xо} f(x) = lim _{x → xо} h(x) = а, то lim _{x → xо} g(x) = а.

Теорема: Если lim _{x → xо} f(x) = а и а > c, тогда найдется такая проколотая окрестность точки х0, что при любом х D(f)∩(окр. т. х0) будет выполняться f(x) > c.

Теорема: Если в точке х0 f(x) ≥ c и существует lim _{x → xо} f(x) = а, тогда a ≥ c.

Предельный переход в неравенствах: Пусть f(x) ≥ g(x). При любом хD, где D=D(f)∩D(g)∩(проколотая окр.), если существуют lim _{x → xо} f(x) = а, то lim _{x → xо} g(x) = b, то a ≥ b.

16. Первый замечательный предел. Следствия.

lim _{x → 0} sinx/x =1

Доказательство:

1) х(0; π/2)

sinx < x < tgx (1)

2) х(-π/2; 0)

sin(-x)=-sinx

tg(-x)=-tgx

-sinx < -x < -tg x (2)

Из (1) и (2) получаем: |sinx| < |x| < |tgx|, х(-π/2; 0)U(0; π/2)

sinx < x < tgx |:sinx

1 < x/sinx < 1/cosx

cosx < sinx/x < 1

-1 < -sinx/x < -cosx

0 < 1 – sinx/x < 1 – cosx = 2sin²x/2 = x/2

По теореме о промежуточной функции lim _{x → 0} (1 - sinx/x) =0

Следствия:

1) lim _{x → 0} tgx/x =1

2) lim _{x → 0} arcsinx/x =1

3) lim _{x → 0} arctg/x =1

17. Второй замечательный предел. Следствия.

lim _{x → ∞} (1 + 1/x)^x = e

Доказательство:

1) Пусть x → +∞. Обозначим [x]=n, nN

[x] ≤ x ≤ [x] + 1

n ≤ x ≤ n + 1

1/(n+1) ≤ 1/x ≤ 1/n

1+ 1/(n+1) ≤ 1 + 1/x ≤ 1/n +1

(1 + 1/(n+1))ⁿ ≤ (1+1/x)ⁿ ≤ (1 + 1/n)ⁿ

По теореме о зажатой последовательности, lim _{x → +∞} (1 + 1/x)^x = e.

2) Пусть x → -∞. Обозначим (-x)=у, у → +∞.

lim _{x → -∞} (1 + 1/x)^x = lim _{у → +∞} (1 + 1/у)^у = е

Следствия:

1) lim _{x → 0} (1 + x)^1/x = e

2) lim _{x → ∞} (1 + k/x)^x = ek

3) lim _{x → 0} log_a(1 + x) /x = log_ae = 1/ln a

4) lim _{x → 0} ln(1 + x) /x = 1

5) lim _{x → 0} (a^x - 1)/x = ln a

6) lim _{x → 0} (e^x – 1)/x = 1

7) lim _{x → 0} ((1 + x)^μ – 1)/x = μ