- •1. Действительные числа. Модуль действительного числа и его свойства.
- •3. Числовая последовательность и ее предел. Единственность предела.
- •4. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
- •5. Арифметические операции над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух последовательностей.
- •6. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами: теорема о трех последовательностях, предельный переход в неравенствах.
- •7. Бесконечно малые последовательности. Необходимое и достаточное условие существование предела последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •8. Бесконечно большие последовательности. Неограниченные последовательности. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
- •9. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число «е».
- •10. Подпоследовательность. Верхний и нижний пределы последовательности.
- •11. Общее понятие функции. Числовые функции и их свойства. Элементарные функции и их графики.
- •12. Предел функции в точке. Единственность предела.
- •13. Бесконечно малые функции и их свойства. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке. Сравнение бесконечно малых функций. Таблица эквивалентности.
- •14. Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций. Неограниченные функции.
- •15. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел в точке. Теоремы о пределах функций, связанные с арифметическими действиями. Теоремы о пределах функций, связанные с неравенствами.
- •16. Первый замечательный предел. Следствия.
- •17. Второй замечательный предел. Следствия.
- •18. Непрерывность функции в точке.
- •19. Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация.
- •20. Свойства функций, непрерывных в точке: непрерывность суммы, произведения и частного. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Непрерывность композиции.
- •21. Обратная функция. Непрерывность функции, обратной к строго монотонной.
- •22. Непрерывность основных элементарных функций: линейной, рациональной, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических, гиперболических.
- •23. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
18. Непрерывность функции в точке.
Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки х0, называется непрерывной в точке х=х0, если lim x → xо f(x) = f(x0).
f(x) непрерывна в точке х0, если:
1) функция определена в этой точке;
2) существует конечный предел функции в этой точке;
3) предел равен значению функции.
Назовем разность х-х0=Δх – приращение аргумента, f(x)-f(x0)=Δf – приращение функции. Функция называется непрерывной в точке х=х0, если lim Δx → 0 Δf = 0.
Бесконечно малое приращение аргумента означает бесконечно малое приращение функции, и наоборот.
Определение непрерывности функции в точке х0 может быть записано и так:
lim x → xо f(x) = f(lim x → xо x), т.е. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.
19. Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация.
Если функция f(x) определена на полуинтервале (х0 – δ; х0] и lim x → -0 f(x) = f(x0), то функция называется непрерывной слева.
Аналогично справа.
Если пределы слева и справа существуют, равны между собой и равны значению функции в этой точке, то функция непрерывна в точке х0.
Если функция не является непрерывной в точке, то она имеет в этой точке разрыв.
х=х0 – точка разрыва функции, если не выполняется одно из условий:
1) х0 D(f)
2) lim x → xо f(x) = b
3) b=f(x0)
Если х0 – точка разрыва, но существуют конечные пределы функции справа и слева, равные соответствующим значениям функции, то х0 – точка разрыва первого рода.
Разность f(x0+0) – f(x0-0) называют скачком функции.
В случае, если они равны, то х0 – точка устранимого разрыва.
Если х0 – точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода, то она является точкой разрыва второго рода. В такой точке хотя бы один из односторонних пределов не существует либо бесконечен.
20. Свойства функций, непрерывных в точке: непрерывность суммы, произведения и частного. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Непрерывность композиции.
Свойства функций:
1) Если функция f(x) непрерывна в точке х0, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.
2) Сохранение знака непрерывной функции: Если функция f(x) непрерывна в точке х0, причем f(x0)≠0, то в некоторой окрестности точки х0 знак функции совпадает со знаком числа f(x0).
3) Непрерывность суммы, произведения и частного: Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то функции f(x)±g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x) (g(x)≠0; g(x0)≠0) непрерывны в этой точке.
4) Непрерывность композиции: Пусть u=f(x) и y=g(u) – композиция gof. Пусть u=f(x) непрерывна в точке х0, а y=g(u) непрерывна в точке u0, где u0=f(x0), тогда композиция gof непрерывна в точке х0.
21. Обратная функция. Непрерывность функции, обратной к строго монотонной.
Если функция y=f(x) обратима, т.е. каждое свое значение она принимает в единственной точке области определения, и каждому yE(f) ставится в соответствие вполне определенное значение xD(f) такое, что y=f(x), то говорят, что определенная таким образом функция x=f -1(y) является обратной к функции y=f(x).
Непрерывность обратной к строго монотонной функции: Пусть функция y=f(x) строго возрастает на [a, b] и непрерывна на этом отрезке. Тогда на отрезке [f(a), f(b)] определена функция x=g(y), непрерывная на этом отрезке и строго возрастающая.