12. Предел функции в точке. Единственность предела.

Пусть функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки х₀, кроме, быть может, самой точки х₀.

Число А называется пределом функции y=f(x) при х, стремящемся к х₀ (или в точке х₀), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа >0, найдется такое положительное число δ>0 (зависящее от , δ=δ(ɛ)), что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих условию |х – х₀| < δ, выполняется неравенство |f(x) – A| < .

(A = lim _{x → xо} f(x))  ( > 0) ( δ = δ(ɛ) > 0) ( x ≠ x₀: |x – x₀| < δ): |f(x) – A| < .

Число А есть предел функции f(x) при х→х₀, если для любого ɛ>0 найдется такая δ-окрестность точки х0, что для всех х≠х₀ из этой окрестности соответствующие координаты графика функции f(x) будут заключены в полосе А-ɛ<y<A+ɛ, какой бы узкой эта полоса не была.

Смысл определения предела функции f(x) в точке х₀ состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х₀, значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).

Единственность предела: Функция не может иметь более одного предела.

Доказательство:

Предположим противное, т.е. что функция f(x) имеет два предела А и D, А≠D. Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции f(x)=A+α(x), f(x)=D+β(x), где α(x) и β(x) – бесконечно малые при х→х₀. Вычитая почленно эти равенства, получим 0=A-D+(α(x)-β(x)), откуда α(x)-β(x)=D-A. Это равенство невозможно, т.к. на основании свойств бесконечно малых функций α(x)-β(x) есть величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно.

13. Бесконечно малые функции и их свойства. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке. Сравнение бесконечно малых функций. Таблица эквивалентности.

Функция у=α(x) называется бесконечно малой при х→х₀, если ее предел равен нулю.

(α(x) – БМ при х→х₀) ( > 0) ( δ = δ(ɛ) > 0) ( x ≠ x₀: |x – x₀| < δ): |α(x)| < .

Свойства:

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

2) Произведение бесконечно малой функции на ограниченную в некоторой окрестности точки х₀ есть функция бесконечно малая в точке х₀.

С1: Произведение постоянно функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.

С2: Произведение двух бесконечно малых функция есть функция бесконечно малая.

3) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой отличен от нуля, есть функция бесконечно малая.

Свойство 3 не рассматривает предел отношения двух бесконечно малых функция из-за его неопределенности. Этот предел может быть равен нулю, числу А≠0 или бесконечности. В этом случае бесконечно малая функция α(x) называется соответственно: бесконечно малой более высокого порядка малости, чем β(x); одного порядка малости или более низкого порядка малости. В частности, если предел равен 1, то бесконечно малые функции называют эквивалентными.

Таблица эквивалентности (все при х→0):

sinx ~ x

tgx ~ x

arcsinx ~ x

ln(1+x) ~ x

log_a(1+x) ~ x/lna

e^x-1 ~ x

a^x-1 ~ x

(1+x)^μ – 1 ~ μx

Необходимое и достаточное условие существование предела функции в точке:

???