- •Тема 1.
- •§1. Делимость целых чисел. Полагаем, что в произвольном подмножестве натуральных чисел всегда есть наименьшее.
- •§2. Построение комплексных чисел.
- •Теорема 2. Справедливы следующие соотношения:
- •§3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Замечание. Тригонометрическая форма комплексного числа хорошо приспособлена для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень.
- •§4. Извлечение корня из комплексного числа.
- •§ 5. Корни из единицы.
- •Теорема 1.
- •Всегда ли есть первообразный корень?
- •§6. Числовое поле.
- •Упражнение 1. Числовое поле всегда бесконечно. Упражнение 2. Любое числовое поле всегда содержит q (множество рациональных чисел).
- •Тема 2. Матрицы и определители.
- •§1. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.
- •Сложение матриц и их свойства.
- •Умножение матрицы на число и его свойства.
- •§2. Умножение матриц.
- •§3. Перестановки.
- •§4. Подстановки.
- •§5. Определители и их свойства.
- •Свойства определителей.
- •§6. Миноры и их алгебраические дополнения.
- •§7. Определитель произведения квадратных матриц.
- •§8. Обратная матрица.
- •§9. Системы линейных уравнений.
- •Тема 3. Многочлены от одной переменной.
- •§1. Многочлены. Сложение и умножение многочленов.
- •Сложение многочленов:
- •§2.Деление многочленов.
- •Алгоритм Евклида: Пусть f(X) и g(X) — два многочлена над полем р.
- •§ 3. Наибольший общий делитель многочленов (нод)
- •Теорема 1. ( о существовании нод)
- •Наибольший общий делитель ненулевого набора многочленов представляется в виде: ,где .
- •Теорема 2. Нод определен однозначно.
- •Теорема 3 (об отыскании нод для двух многочленов).
- •Теорема 5 (критерий взаимной простоты).
- •§ 4. Наименьшее общее кратное многочленов (нок).
- •§ 5. Разложение многочленов на
- •§6 Корни многочлена.
- •Следствие. А является корнем f(X) тогда и только тогда,когда (X-а) делит f(X).
- •§7. Основная теорема алгебры комплексных чисел (Гаусса).
- •§8. Формулы Виета. Кратные корни.
- •Тема 4. Группа.Кольцо. Поле.
- •§1. Бинарная агебраическая операция.
- •Примеры.
- •Доказательство индукцией (по числу элементов во второй скобке):
- •Симметричный для X обозначим через X'.
- •§2 Определение группы. Простейшие свойства групп. Определение1. Пусть г не пустое множество элементов произвольной природы. Г называется группой, если выполняются следующие условия:
- •Важные примеры групп
- •Простейшие свойства групп
- •§3 Подгруппа
- •§4 Кольцо.
- •§5. Поле
- •Доказательство.
- •Cвойства характеристики
§8. Обратная матрица.
Пусть A = (aij)n x n квадратная матрица над полем Р.
Определение 1. Матрицу А будем называть вырожденной, если ее определитель равен 0. Матрицу А будем называть невырожденной в противном случае.
Определение 2. Пусть А Pn. Матрицу В Pn будем называть обратной к А, если АВ = ВА=Е.
Теорема (критерий обратимости матрицы). Матрица А обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.
Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА-1 = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A-1 | = | E | или | A | | A-1 | = 1. Следовательно, | A | 0.
Пусть, обратно, | A | 0. Надо показать, что существует матрица В такая, что АВ = ВА = Е. В качестве В возьмем такую матрицу:
В = ,
где Аij — алгебраическое дополнение к элементу аij . Тогда
АВ =
Следует заметить, что в результате получится единичная матрица (достаточно воспользоваться следствиями 1 и 2 из теоремы Лапласа § 6), т.е. АВ = Е. Аналогично показывается, что ВА = Е.
Пример. Для матрицы А найти обратную матрицу, или доказать, что ее нет.
А =
det A = -3 обратная матрица существует. Теперь считаем алгебраические дополнения.
А11 = -3 А21 = 0 А31 = 6
А12 = 0 А22 = 0 А32=-3
А13 = 1 А23 = -1 А33 = -1
Итак, обратная матрица имеет вид: В = =
Алгоритм нахождения обратной матрицы для матрицы А.
-
Вычисляем det A.
-
Если он равен 0, то обратной матрицы не существует. Если det A не равен 0, считаем алгебраические дополнения .
-
Ставим алгебраические дополнения на соответствующие места.
-
Все элементы получившейся матрицы делим на det A.
Упражнение 1. Выяснить, однозначна ли обратная матрица.
Упражнение 2. Пусть элементы матрицы А — целые рациональные числа. Будут ли элементы обратной матрицы целыми рациональными числами?
§9. Системы линейных уравнений.
Определение 1. Уравнение вида a1x1+ ....+anxn=b , где a, ... ,an — числа; x1, ... ,xn — неизвестные, называется линейным уравнением с n неизвестными.
s уравнений с n неизвестными называется системой s линейных уравнений с n неизвестными, т.е.
(1)
Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется матрицей системы (1).
.
Е сли к матрице А добавить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы (1).
X = — столбец неизвестных.
— столбец свободных членов.
В матричном виде система имеет вид: AX=B (2).
Решением системы (1) называют упорядоченный набор n чисел (α1 ,…, αn) таких, что если сделаем подстановку в (1) x1 = α1, x2 = α2 ,…, xn = αn , то мы получим числовые тождества.
Определение 2. Систему (1) называют совместной, если она имеет решения, и несовместной в противном случае.
Определение 3. Две системы называют эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Существует универсальный способ решения системы (1) — метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных), см. [1], стр.15.
Рассмотрим более подробно случай, когда s = n. Существует метод Крамера решения таких систем.
Пусть d = det ,
dj — определитель d, в котором j–тый столбец заменен столбцом свободных членов.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы d 0, тогда система имеет единственное решение, получающееся по формулам:
x1 = d1 / d …xn = dn / d
Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим
X = , B =
и рассмотрим уравнение AX = B (2) с неизвестной матрицей-столбцом X. Так как A, X, B — матрицы размеров n x n, n x 1, n x 1 соответственно, то произведение прямоугольных матриц АХ определено и имеет те же размеры, что и матрица В. Таким образом, уравнение (2) имеет смысл.
Связь между системой (1) и уравнением (2) заключается в том, что является решением данной системы тогда и только тогда, когда
столбец есть решение уравнения (2).
Действительно, это утверждение означает выполнение равенства
=
= .
Последнее равенство, как равенство матриц, равносильно системе равенств
к оторое означает, что — решение системы (1).
Итак, решение системы (1) сводится к решению матричного уравнения (2). Так как определитель d матрицы А отличен от нуля, она имеет обратную матрицу А-1. Тогда АХ = В А-1(АХ) = А-1В (А-1А)Х = А-1В ЕХ = =А-1В Х = А-1В (3). Следовательно, если уравнение (2) имеет решение, то оно задается формулой (3). С другой стороны, А(А-1В) = (АА-1)В = ЕВ = В.
Поэтому Х = А-1В есть единственное решение уравнения (2).
Так как ,
где Аij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе d, то
= ,
откуда (4).
В равенстве (4) в скобках написано разложение по элементам j-го столбца определителя dj, который получается из определителя d после замены в нем
j-го столбца столбцом свободных членов. Поэтому, xj = dj / d.
Следствие. Если однородная система n линейных уравнений от n неизвестных имеет ненулевое решение, то определитель этой системы равен нулю.