- •Тема 1.
- •§1. Делимость целых чисел. Полагаем, что в произвольном подмножестве натуральных чисел всегда есть наименьшее.
- •§2. Построение комплексных чисел.
- •Теорема 2. Справедливы следующие соотношения:
- •§3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Замечание. Тригонометрическая форма комплексного числа хорошо приспособлена для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень.
- •§4. Извлечение корня из комплексного числа.
- •§ 5. Корни из единицы.
- •Теорема 1.
- •Всегда ли есть первообразный корень?
- •§6. Числовое поле.
- •Упражнение 1. Числовое поле всегда бесконечно. Упражнение 2. Любое числовое поле всегда содержит q (множество рациональных чисел).
- •Тема 2. Матрицы и определители.
- •§1. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.
- •Сложение матриц и их свойства.
- •Умножение матрицы на число и его свойства.
- •§2. Умножение матриц.
- •§3. Перестановки.
- •§4. Подстановки.
- •§5. Определители и их свойства.
- •Свойства определителей.
- •§6. Миноры и их алгебраические дополнения.
- •§7. Определитель произведения квадратных матриц.
- •§8. Обратная матрица.
- •§9. Системы линейных уравнений.
- •Тема 3. Многочлены от одной переменной.
- •§1. Многочлены. Сложение и умножение многочленов.
- •Сложение многочленов:
- •§2.Деление многочленов.
- •Алгоритм Евклида: Пусть f(X) и g(X) — два многочлена над полем р.
- •§ 3. Наибольший общий делитель многочленов (нод)
- •Теорема 1. ( о существовании нод)
- •Наибольший общий делитель ненулевого набора многочленов представляется в виде: ,где .
- •Теорема 2. Нод определен однозначно.
- •Теорема 3 (об отыскании нод для двух многочленов).
- •Теорема 5 (критерий взаимной простоты).
- •§ 4. Наименьшее общее кратное многочленов (нок).
- •§ 5. Разложение многочленов на
- •§6 Корни многочлена.
- •Следствие. А является корнем f(X) тогда и только тогда,когда (X-а) делит f(X).
- •§7. Основная теорема алгебры комплексных чисел (Гаусса).
- •§8. Формулы Виета. Кратные корни.
- •Тема 4. Группа.Кольцо. Поле.
- •§1. Бинарная агебраическая операция.
- •Примеры.
- •Доказательство индукцией (по числу элементов во второй скобке):
- •Симметричный для X обозначим через X'.
- •§2 Определение группы. Простейшие свойства групп. Определение1. Пусть г не пустое множество элементов произвольной природы. Г называется группой, если выполняются следующие условия:
- •Важные примеры групп
- •Простейшие свойства групп
- •§3 Подгруппа
- •§4 Кольцо.
- •§5. Поле
- •Доказательство.
- •Cвойства характеристики
§1. Делимость целых чисел. Полагаем, что в произвольном подмножестве натуральных чисел всегда есть наименьшее.
Определение. Пусть a, bZ. Если существует qZ, что a = bq, то b делит a, или a делится на b, обозначаем b|a.
Простейшие свойства делимости:
-
Если a|b, b|c a|c. Если a делит b и b делит c, то a делит c.
2) Если a,b,с и с не равно 0, то a делит b тогда и только тогда, когда ac делит bc, т. е. a|b; c0 ac|bc, a, b, cZ.
-
d|ai; i=1,…,n,
x1,…,xnZ d|a1 x1 +…+an xn.
-
a|b; b|a a =b.
Доказательство всех свойств однообразно: используется только определение делимости. Докажем 4) :
a = bq и b = aq1 a = aqq1 a(qq1 – 1) = 0 qq1 = 1, т. к. a0 q = 1.
Теорема (о делении с остатком).
Для любых a, bZ; b 0 существует единственная пара q, rZ такая, что a = bq+r, 0 r|b|.
Доказательство: Рассмотрим множество M = {a – bq, qZ}. Очевидно, что M∩{N, 0}Ø.
В любом таком множестве наименьшее r. Очевидно, что |b|>r ≥0.
Докажем единственность.
Пусть ещё a = bq1 + r1. Тогда вычитанием из первого второе получим
0 = b(q – q1) + r – r1. Отсюда следует, что r – r1 кратно b, но |r – r1|<|b|.
Следовательно, r – r1 = 0, а поэтому и q – q1 = 0.
Упражнение. Доказать теорему о делении с остатком геометрически (использовать геометрическую интерпретацию чисел).
Следствие из теоремы.
b делит a тогда и только тогда, когда r = 0 (b|a r = 0);
r называют остатком, а q – частным.
§2. Построение комплексных чисел.
Уравнение x2+1=0 не имеет решения в области действительных чисел. Построение комплексных чисел попутно решает задачу о расширении множества действительных чисел до такого множества, чтобы уравнение x2+1=0 имело решение.
В качестве исходного материала для построения комплексных чисел возьмём множество точек плоскости. Будем их обозначать z1, z2,…, zn. Если на плоскости выбрана Декартова система координат, то между точками на плоскости и множеством пар чисел (a, b), где a и bR, можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е.
z (a, b), где – равно по определению.
Введём операции сложения и умножения точек плоскости.
Определение 1. Под суммой точек z1=(a, b) и z2=(c, d) будем понимать точку z = z1+z2(a+c, b+d).
Определение 2. Под произведением точек z1=(a, b) и z2=(c, d) будем понимать точку z = z1z2(ac–bd, ad+bc)
Теорема 1.
1) z1+z2=z2+z1 — коммутативность сложения;
2) (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) — ассоциативность сложения;
3) z1z2= z2z1 — коммутативность умножения;
4) (z1z2)z3= z1(z2z3) — ассоциативность умножения;
-
(z1+z2)z3 = z1z3+z2z3 — дистрибутивность умножения относительно сложения.
Для любых z1, z2, z3.
Доказательство утверждений 1) – 5) сводится к подсчёту правой и левой частей и проверке их равенства. Докажем, например, 3) :
z1z2 = (ac–bd, ad+bc) = (ca–db, cb+da) = z2z1 z1z2= z2z1.
Введённые операции сложения и умножения обладают теми же свойствами, что и числа.
Определение 3. Под разностью точек z1=(a, b) и z2=(c, d) будем понимать точку z = (x, y) такую, что z2+ z = z1, т.е.
z2+z = z1
z1–z2 = (a – c, b – d).
Определение 4. Пусть z1 = (a, b), z2 = (c, d), z2 (0, 0).
Частным двух точек z1 и z2 называют точку z = (x, y) такую, что z2z = z1, т.е.
x =; y =.
Точка с координатами (0, 0) играет роль нуля. Роль единицы играет точка с координатами (1, 0). Противоположной точке z1 = (a, b) будет точка z2 = (–a, –b).
Упражнение. Найти обратную точку для точки z2 = (c, d)≠(0,0).
Множество точек плоскости с так введёнными операциями сложения, умножения, вычитания и деления называют множеством комплексных чисел и обозначают C.
Точки с координатами (a, 0) на оси Ox и
(a, 0)+(b, 0) = (a+b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).
По своим свойствам множество таких точек ничем не отличаются от R, поэтому будем отождествлять (a, 0) и a. После этого отождествления множество C содержит R (C R).
В множестве C имеет решение уравнение x2+1=0.
Это точка с координатами (0, 1): (0, 1) (0, 1) = (–1, 0).
Точка (0, 1) — обозначается i и называется мнимой единицей. Очевидно, что
(a, b) = (a, 0)+(0, b) = a+(b, 0)(0, 1) = a+bi, где a+bi — алгебраическая форма комплексного числа.
Замечание. Введенные ранее операции над комплексными числами приспособлены к алгебраической форме записи комплексного числа. Например, для умножения двух чисел имеем:
(a+bi)(c+di) = ac+adi+cbi+bdi2=(ac–bd)+i(ad+bc).
Пусть z = a+bi, тогда:
a = Re z — действительная часть комплексного числа,
b = Im z — мнимая часть комплексного числа.
Множество точек плоскости может служить геометрическим изображением комплексных чисел.
Определение 5. Два комплексных числа равны, если равны их мнимые и действительные части (следует из геометрической интерпретации комплексных чисел).
Два комплексных числа называют сопряжёнными, если их действительные части равны, а мнимые — противоположны (сопряжённое к z обозначаем через ).
Упражнение 1. Сумма и произведение двух комплексных чисел z и (сопряжённых) — действительное число.