![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Тема 1.
- •§1. Делимость целых чисел. Полагаем, что в произвольном подмножестве натуральных чисел всегда есть наименьшее.
- •§2. Построение комплексных чисел.
- •Теорема 2. Справедливы следующие соотношения:
- •§3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Замечание. Тригонометрическая форма комплексного числа хорошо приспособлена для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень.
- •§4. Извлечение корня из комплексного числа.
- •§ 5. Корни из единицы.
- •Теорема 1.
- •Всегда ли есть первообразный корень?
- •§6. Числовое поле.
- •Упражнение 1. Числовое поле всегда бесконечно. Упражнение 2. Любое числовое поле всегда содержит q (множество рациональных чисел).
- •Тема 2. Матрицы и определители.
- •§1. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.
- •Сложение матриц и их свойства.
- •Умножение матрицы на число и его свойства.
- •§2. Умножение матриц.
- •§3. Перестановки.
- •§4. Подстановки.
- •§5. Определители и их свойства.
- •Свойства определителей.
- •§6. Миноры и их алгебраические дополнения.
- •§7. Определитель произведения квадратных матриц.
- •§8. Обратная матрица.
- •§9. Системы линейных уравнений.
- •Тема 3. Многочлены от одной переменной.
- •§1. Многочлены. Сложение и умножение многочленов.
- •Сложение многочленов:
- •§2.Деление многочленов.
- •Алгоритм Евклида: Пусть f(X) и g(X) — два многочлена над полем р.
- •§ 3. Наибольший общий делитель многочленов (нод)
- •Теорема 1. ( о существовании нод)
- •Наибольший общий делитель ненулевого набора многочленов представляется в виде: ,где .
- •Теорема 2. Нод определен однозначно.
- •Теорема 3 (об отыскании нод для двух многочленов).
- •Теорема 5 (критерий взаимной простоты).
- •§ 4. Наименьшее общее кратное многочленов (нок).
- •§ 5. Разложение многочленов на
- •§6 Корни многочлена.
- •Следствие. А является корнем f(X) тогда и только тогда,когда (X-а) делит f(X).
- •§7. Основная теорема алгебры комплексных чисел (Гаусса).
- •§8. Формулы Виета. Кратные корни.
- •Тема 4. Группа.Кольцо. Поле.
- •§1. Бинарная агебраическая операция.
- •Примеры.
- •Доказательство индукцией (по числу элементов во второй скобке):
- •Симметричный для X обозначим через X'.
- •§2 Определение группы. Простейшие свойства групп. Определение1. Пусть г не пустое множество элементов произвольной природы. Г называется группой, если выполняются следующие условия:
- •Важные примеры групп
- •Простейшие свойства групп
- •§3 Подгруппа
- •§4 Кольцо.
- •§5. Поле
- •Доказательство.
- •Cвойства характеристики
§3. Перестановки.
Пусть
X
— непустое множество элементов
произвольной природы, так как природа
элементов для нас несущественна, то в
случае конечного множества считаем X
=.
Определение 1. Любое упорядоченное расположение элементов множества X называется перестановкой множества X.
Пример:
Если
X
=
, то (2,5,3,4,1) - перестановка множества X.
Перестановку
элементов множества X
обозначают
,
причем среди
(i
= 1,2,…, n)
нет
равных.
Определение 2. Две перестановки множества X называются равными, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые элементы.
Теорема 1. Число различных перестановок множества из n элементов равно n!
◄ Докажем
эту теорему индукцией по числу
.
При
1
имеется одна перестановка, т.е. 1!.
Пусть
>1
и число различных перестановок, которые
можно составить из заданных (
)
элементов,
равно
.
Всякая перестановка данных элементов
с фиксированным первым числом а имеет
вид:
,
где
произвольная
перестановка оставшихся (
)
элементов.
По индуктивному предположению число
таких перестановок равно
.В
качестве а, можно взять любой из данных
элементов, поэтому число различных
перестановок
заданных
элементов
равно сумме n
слагаемых, каждое из которых есть
,
т.е. n!►
Определение
3. Будем
говорить, что в перестановке чисел
два числа
образуют инверсию если
>
,
но i
< j.
В противном случае
образуют
порядок.
Пример:
В перестановке (1 3 4 2) инверсии: 4,2 ; 3,2 , а остальные пары образуют порядок.
Определение
4. Количество
пар чисел, образующих инверсию в
перестановке, называют числом инверсий
данной перестановки. Отображение
X
X
будем называть преобразованием множества
X.
Пусть
множество X
состоит не менее чем из двух элементов
X.
Определение
5. Преобразование
множества Х называют транспозицией
элементов
и
,
если
,
,
.Такое
преобразование обозначают
.
Определение 6. Перестановку называют четной, если число инверсий в ней четно, и нечетной в противном случае.
Теорема 2. Однократное применение транспозиции к перестановке изменяет ее характер четности на противоположный.
◄ Пусть
имеется перестановка
. Применим к ней транспозицию
,
получим
.
Рассмотрим несколько случаев:
1.
Пусть
и
стоят рядом. Если
и
в
образуют инверсию, то
образуют порядок. Поэтому характер
четности изменяется на противоположный,
ибо число инверсий изменяется на единицу.
2.
Пусть
и
не стоят рядом
.
От
к
можно перейти следующим способом:
менять с рядом стоящим элементом дойти
до
и
перегнать на место
.
Всего нам придется применить S+1+S=2S+1
транспозиций соседних чисел, где
число элементов между
и
,
поэтому характер четности перестановок
и
различны.►
Следствие.
При
2
число четных перестановок равно числу
нечетных перестановок и равно
.
◄ Пусть
число четных перестановок равно S,
нечетных — T.
Если к каждой четной перестановке мы
применим транспозицию двух элементов,
мы превратим их в нечетные S,
аналогично наоборот T
T=S
=S+T
=2S
S=T=.►
Теорема 3. Пусть даны две различные перестановки одних и тех же чисел, тогда существует последовательность транспозиций переводящих первую перестановку во вторую.
◄ Пусть
есть
произвольные перестановки из n
чисел. Если
,
то применив к перестановке
транспозицию
получим перестановку n
чисел вида
Если
,
то к перестановке
применим транспозицию
.В
результате получим перестановку
.
Продолжаем этот процесс получаем
требуемое.►
Замечание. В доказательстве теоремы содержится алгоритм нахождения последовательности транспозиций, переводящих одну перестановку в другую.
Пример:
(1,
2, 3, 4)
(3,
1, 4 ,2)
(1,2,3,4)
(3,2,1,4)
(3,1,2,4)
(3,1,4,2).
(6) (7)
Такая последовательность транспозиций не однозначна (это может быть не самый короткий путь перехода от одной перестановки к другой).