Примеры.

1) В операции умножения на множестве целых чисел Z роль нейтрального элемента играет 1.

2) На множестве 2Z нет нейтрального элемента относительно умнажения.

Теорема 1.Относительно любой алгебраической операции существует не более одного нейтрального элемента.

Доказательство (от противного). Пусть m и n нейтральные элементы относительно операции  на X, причем mn. Тогда по определению нейтрального элемента:  m=n.

Определение 4. Алгебраическая оперция , заданная на множестве X, называется ассоциативной, если a,b,cX выполняется: (ab) c=a(bc).

Теорема 2. Пусть на множестве Х задана ассоциативная операция , тогда:

(a₁…a_i) (a_i+1…a_n )= a₁…a_n

Доказательство индукцией (по числу элементов во второй скобке):

1. Если n – i=1, то равенство верно по определению.

2. Если n  i=k, то будем считать утверждение верным.

3. Докажем верность для n  i=k+1.

(a₁…a_i)(a_i+1…a_n )= (a₁…a_i)((a_i+1…a_n1 ) a_n ) так как операция  ассоциативна, то по-другому расставим скобки и воспользуемся индуктивным предположением

(a₁…a_i)((a_i+1…a_n1 )a_n )= =((a₁…a_i)(a_i+1…a_n1 )) a_n = a₁…a_n .

Следствие. Пусть на множестве Х задана ассоциативная операция . Тогда композиция конечного числа элементов множества Х не зависит от распределения скобок, указывающих на порядок производимых действий.

Определение 5. Пусть на множестве Х задана операция , n – нейтральный элемент и x,y —некоторые элементы из множества Х. Элемент y называется симметричным элементу x относительно операции , если xy=yx=n. Если для элемента x есть симметричный, то он называется симметризуемым.

Примеры:

1) На множестве целых чисел, операция +, n=0, симметричный элемент элементу — противоположный .

2) Множество матриц над полем P_n, E — единичная матрица (нейтральный элемент при умножении). Симметричный элемент существует тогда, когда матрица обратима, т.е ее определитель не равен нулю.

Теорема 3. Пусть на множестве X задана ассоциативная операция  и n — нейтральный элемент. Тогда xX существует не более одного симетричного элемента.

Докозательство (от противного).

Пусть для некоторого элемента x существует несколько симметричных элементов, например: y,z. Тогда рассмотрим композицию: yxz=y(xz)=yn=y, с другой стороны yxz=(yx)z)=nz=z  y=z.

Симметричный для X обозначим через X'.

Теорема 4. Пусть на множестве X задана ассоциативная операция °. Элементы x,yX — симметризуемы, тогда элемент xy также симметризуем и симметричный для него (xy)'= y' x'.

Доказательство. Рассмотрим композицию: (xy)( y' x')=x(yy') x'=xx'=n, где n – нейтральный элемент. Аналогично (y'x')  (xy)=n.

Определение 6. Операция  называется коммутативной, если xy=yx x,yX.

Часто бинарную алгебраическую операцию называют сложением или умножением (так сложилось исторически), то композицию называют соответственно суммой или произведением.

Упражнение 1. Привести примеры.

Упражнение 2. Как называют нейтральный и симметричный элементы, если операцию называют сложением (умножением).

§2 Определение группы. Простейшие свойства групп. Определение1. Пусть г не пустое множество элементов произвольной природы. Г называется группой, если выполняются следующие условия:

1. На множестве Г задана операция .

2. Операция  ассоциативна.

3. Существует нейтральный элемент nГ.

4. Для любого элемента из Г симметричный ему элемент всегда существует и принадлежит также Г.

Пример.

Множество Z – чисел с операцией +.

Определение 2.

Группа называется абелевой, если она коммутативна относительно заданной операции .