§4. Подстановки.

Пусть XX , при этом если — биективно, то часто называют подстановкой. Мы ограничимся случаем, когда число элементов конечно, и равно n .

X =, тогда отображение можно записать в виде таблицы:

Если подстановка, тогда — перестановка. Запись отображения в виде таблице (1) позволяет хорошо перемножать отображения.

Пример.

Теорема 1. Всякая подстановка конечного множества, содержащая не менее двух элементов, может быть представлена в виде произведения транспозиций.

◄ Пусть имеем .Согласно теореме 3 предыдущего параграфа, существует последовательность транспозиций переводящая первую перестановку во вторую, пусть это будет следующая последовательность транспозиций . Тогда очевидно, что, ибо отображения действуют на одном и том же множестве и результат их действия одинаков. ►

Замечание. Разложение подстановки в произведение транспозиций, вообще говоря, неоднозначно.

Теорема 2. Характер четности числа сомножителей во всех разложениях подстановки в произведение транспозиций один и тот же.

◄ Пусть подстановка вида (1) разлагается в произведение k транспозиций. Это значит, что существует последовательность k транспозиций, переводящая перестановку (2) в перестановку (3). Однократное применение транспозиции меняет характер четности перестановки, поэтому k — четное число тогда и только тогда, когда перестановки(2) и (3) одного характера четности. Это и доказывает теорему.►

Определение 1. Подстановка называется четной, если она разлагается в произведение четного числа транспозиций, и нечетная в противном случае.

Упражнение. Число четных подстановок равно числу нечетных и равно .

§5. Определители и их свойства.

Пусть А — некоторая матрица размеров n x n над полем Р.

A =

Возьмем из каждой строки и каждого столбца матрицы по одному элементу . Тогда (i_{1 ..........}i_n ) (1) будет некоторой перестановкой чисел 1,2, … , n. Возьмем произведение этих элементов и умножим на (-1) ^t , где t — число инверсий в перестановке (1). Получим (-1) ^t (2). Это произведение (2) принято называть членом определителя матрицы А.

Определение. Определителем (детерминантом) матрицы А назовем сумму всех членов определителя матрицы А.

Определитель матрицы А обозначается одним из символов: | A | , det A .

Замечание. Количество членов определителя матрицы А равно n!

Примеры:

1) n=1; A = (a₁₁) . Определитель матрицы равен a₁₁.

2) n=2; A = , тогда det A = а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁.

3) n=3; A = , тогда det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ –

– a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₂a₂₁a₃₃ – a₁₁a₂₃a₃₂.

Если , считать определитель по определению становится уже громоздким. Для того, чтобы считать определитель, нужно использовать его свойства.

Свойства определителей.

1. Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании, т.е.

det A = det A^t.

2) Если у матрицы поменять местами две строки, то ее определитель изменит знак на противоположный.

3) Определитель матрицы с нулевой строкой равен 0.

4) Определитель матрицы, содержащий две равные строки, равен 0.

5) Постоянный множитель всех элементов какой-нибудь строки определителя можно выносить за знак определителя.

6) Определитель матрицы, содержащей две пропорциональные строки,

равен 0.

7)

d = = + ,

|| ||

d₁ d₂

где a_ik=b_ik+c_ik , где к = 1, ... , n.

Определитель матрицы d, у которой i-тая строка представлена в виде a_ik=b_ik+c_ik , где к = 1, … , n, равен сумме определителей d₁ и d₂ , которые отличны от d i - той строкой, а именно, у d₁ i–тая строка b_ik , у d₂ - c_ik, .

8) Если в определителе к какой–нибудь строке прибавить другую строку, умноженную на произвольное число, то определитель при этом не изменится.

 Доказательство всех этих свойств основано на определении определителя и несложных наблюдениях.

Докажем, например, свойство 1.

Пусть А = (a_ij), A^t = (b_ij) — транспонированная к А матрица, т.е.

b_ij = a_ji. (3)

Требуется доказать, что | A | = | A^t |.

Рассмотрим произвольный член определителя | A^t | : (-1)^t (4),

где t — число инверсий в перестановке j₁, j₂, …, j_n (5). Учитывая (3), перепишем (4) в виде (-1)^t = (-1)^t (6). Так как (5) — перестановка из n чисел, то правую часть (6) можно переписать следующим образом: (-1)^t= (-1)^t(7). Это равносильно тому, что подстановка (8) записывается в виде (9).

Из (6) и (7) получаем (-1)^t = (-1)^t(10).

Правая часть равенства (10) есть с точностью до знака член определителя | A |. Покажем, что перестановка l₁, l₂, …, l_n (11) имеет тот же характер четности, что и перестановка (5).

Действительно, перестановка (11) имеет ту же четность, что и подстановка (9), равная подстановке (8). Четность подстановки (8) совпадает с четностью обратной к ней подстановки (12). Наконец, подстановка (12) имеет ту же четность, что и перестановка (5). Итак, если k — число инверсий в перестановке (11), то с учетом (10) имеем (-1)^t = (-1)^k , т.е. член определителя |A^t|, соответствующий перестановке (5), равен члену определителя |A|, соответствующий перестановке (11). Отсюда и следует равенство определителей |A| и |A^t|.

Докажем теперь свойство 7.

Если (-1)^tесть произвольный член определителя (напомним, что t — число инверсий в перестановке j₁,..., j_i, ..., j_n), то

d = (-1) ^t = (-1) ^t =

= (-1) ^t + (-1) ^t = d₁ + d₂ . 

Замечание. Так как при транспонировании матрицы столбцы становятся строками, то из свойства 1 следует, что все утверждения, доказанные нами для строк определителя, верны и для его столбцов.

Пример 1. det = det = 1 1 2 7 = 14.

Пример 2. det = а₁₁… а_nn.