- •Тема 1.
- •§1. Делимость целых чисел. Полагаем, что в произвольном подмножестве натуральных чисел всегда есть наименьшее.
- •§2. Построение комплексных чисел.
- •Теорема 2. Справедливы следующие соотношения:
- •§3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Замечание. Тригонометрическая форма комплексного числа хорошо приспособлена для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень.
- •§4. Извлечение корня из комплексного числа.
- •§ 5. Корни из единицы.
- •Теорема 1.
- •Всегда ли есть первообразный корень?
- •§6. Числовое поле.
- •Упражнение 1. Числовое поле всегда бесконечно. Упражнение 2. Любое числовое поле всегда содержит q (множество рациональных чисел).
- •Тема 2. Матрицы и определители.
- •§1. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.
- •Сложение матриц и их свойства.
- •Умножение матрицы на число и его свойства.
- •§2. Умножение матриц.
- •§3. Перестановки.
- •§4. Подстановки.
- •§5. Определители и их свойства.
- •Свойства определителей.
- •§6. Миноры и их алгебраические дополнения.
- •§7. Определитель произведения квадратных матриц.
- •§8. Обратная матрица.
- •§9. Системы линейных уравнений.
- •Тема 3. Многочлены от одной переменной.
- •§1. Многочлены. Сложение и умножение многочленов.
- •Сложение многочленов:
- •§2.Деление многочленов.
- •Алгоритм Евклида: Пусть f(X) и g(X) — два многочлена над полем р.
- •§ 3. Наибольший общий делитель многочленов (нод)
- •Теорема 1. ( о существовании нод)
- •Наибольший общий делитель ненулевого набора многочленов представляется в виде: ,где .
- •Теорема 2. Нод определен однозначно.
- •Теорема 3 (об отыскании нод для двух многочленов).
- •Теорема 5 (критерий взаимной простоты).
- •§ 4. Наименьшее общее кратное многочленов (нок).
- •§ 5. Разложение многочленов на
- •§6 Корни многочлена.
- •Следствие. А является корнем f(X) тогда и только тогда,когда (X-а) делит f(X).
- •§7. Основная теорема алгебры комплексных чисел (Гаусса).
- •§8. Формулы Виета. Кратные корни.
- •Тема 4. Группа.Кольцо. Поле.
- •§1. Бинарная агебраическая операция.
- •Примеры.
- •Доказательство индукцией (по числу элементов во второй скобке):
- •Симметричный для X обозначим через X'.
- •§2 Определение группы. Простейшие свойства групп. Определение1. Пусть г не пустое множество элементов произвольной природы. Г называется группой, если выполняются следующие условия:
- •Важные примеры групп
- •Простейшие свойства групп
- •§3 Подгруппа
- •§4 Кольцо.
- •§5. Поле
- •Доказательство.
- •Cвойства характеристики
§ 5. Разложение многочленов на
НЕПРИВОДИМЫЕ МНОЖИТЕЛИ.
Пусть f(x) P[x], степень f(x) ≥ 1, очевидно, что a │ f(x), aP, a ≠ 0.
Определение. Многочлен f(x) называется приводимым над полем Р, если в P[x] существуют делители f(x), степени которых больше нуля, и ≠ cm.f, т.е.: f(x)=f1(x)f2(x), причём deg f2 <deg f, deg f1<deg f .
Многочлен f(x) называется неприводимым над полем Р в противном случае, т.е. один из многочленов f1(x) или f2(x) нулевой степени, если f(x)=f1(x)f2(x).
Замечание. Неприводимость многочлена f(x) P[x] зависит от поля, над которым он рассматривается, и есть в этом смысле понятие относительное.
Пример: Многочлен x2 +1 над полем R неприводим, но над полем C он приводим.
Действительно: x2+1=(x-i)(x+i), т.е. приводим над C.
Упражнение. Доказать, что x2-2 неприводим над полем Q, а x2+1 неприводим над полем R.
Простейшие свойства неприводимых многочленов:
1) Всякий многочлен первой степени неприводим (это следует из определения)
f(x)=f1(x)f2(x), deg f(x)=1 deg f1(x)=0 или 1, deg f2(x)=1 или 0;
2) Если f(x) неприводим над полем Р, то аf(x), где aP, a ≠ 0, тоже неприводим над полем Р;
3) Если f(x) неприводим над полем Р и g(x) P[x] — некоторый многочлен над P , то ( f(x), g(x) )=1 либо f(x) │ g(x).
◄ Рассмотрим НОД многочленов (f(x), g(x))=d(x).Значит d(x) │ g(x) и d(x) │ f(x) d(x) равен 1, т.е. (f(x), g(x))=1
или , т.е. f(x) / g(x).►
4) Если произведение многочленов f(x)g(x) делится на неприводимый многочлен h(x) , то хотя бы один из множителей f(x) или g(x) делится на h(x) ◄ Пусть h(x) ∤ f(x)=> по свойству 3 (h(x),f(x))=1 и , ибо h(x) │ f(x)g(x) и h(x) │ g(x)h(x).►!
Теорема 1 (о разложении многочлена на неприводимые множители). Всякий многочлен f(x)P[x] степени ≥1 можно представить в виде
произведения неприводимых над P многочленов. Разложение многочлена на неприводимые множители определено однозначно с точностью до многочлена нулевой степени и порядка следования сомножителей, то есть
если имеется два разложения f(x) на неприводимые множители:
f(x)= φ1(x)… φ S(x) = ψ1(x)… ψ k(x) , то s=k и при подходящей нумерации множителей : ψi =aiφi i = 1,…,s 0 ≠aiP.
◄Сначала докажем существование:
Если f(x) — неприводим, то в разложении будет один множитель (всё ясно).
Если f(x) приводим, то он представляется в виде f(x) = f1(x)f 2(x). Если f1(x) и f 2(x) — неприводимые, то существование есть.
Если f1(x) или f 2(x) приводим, то с ним поступаем аналогично, как с f(x) и получаем дальше разложение f(x). Этот процесс на каком-то месте оборвётся, так как степени многочленов, которые мы получаем, всё время убывают. Это и доказывает первую часть теоремы.
Докажем вторую часть теоремы — однозначность.
Доказательство будем проводить индукцией по степени f(x). Если степень f(x) равна 1, то всё сводится к свойству 1.Утверждение считаем верным, если степень f(x) < n.Если f(x) неприводим, то доказывать нечего.
Если f(x) приводим, то возьмём разложение:
f(x)= φ1(x)… φ S(x) = ψ1(x)… ψ k(x).
Очевидно, что φ1 делит произведение
φ1 | ψ1(x)… ψ k(x).
Следовательно, по свойству 4 φ1 | ψi => по свойству 2 ψi = aφ1.
После, может быть, перенумерации ψi можно считать ψ1 и Ψ1 =a1φ1.
φ1(x)… φ S(x) = ψ1(x)… ψ k(x)
Сократим обе части равенства на 1. Получим
φ 2(x)… φ S(x) = ψ2(x)… ψ k(x) (1)
Обе части равенства (1) представляет собой многочлен степени меньше n. А для многочленов степени меньше n мы имеем индуктивное предположение, из которого следует, что s-1 = k-1 и Ψi =aiφi i=2, …,k после, может быть, перенумерации.►
Замечание1. Мы добьемся полной однозначности в каноническом смысле, если в разложении многочлена на неприводимые множители из каждого сомножителя вынесем его старший коэффициент:
f(x) = a p1(x)… p k(x) ; а – ст. к. f(x). ст. к. pi = 1 (2)
Определение. Если неприводимый многочлен p(x) встречается в разложении (2) несколько раз, то он называется кратным множителем.
Например: если он встречается s раз, то он s-кратным. После этого разложение (2) допускает запись вида (3):
f(x) = a p1(x)… p m(x) ; pi ≠ pj (3)
Разложение (3) называют каноническим разложением многочлена на неприводимые. Оно определено однозначно (с точностью до порядка сомножителей).
Замечание 2. Задача о разложении многочлена на неприводимые над произвольным полем до сих пор не решена. Во многих случаях она решена. Мы приведем решение в случаях P=R;С.
Пусть f(x) =рк(x)f1(x), где неприводимый многочлен р(x) не делит f1(x).
Тогда р(x) называют неприводимым множителем кратности к для многочлена f(x)
Теорема 2. Пусть р(x) — к-кратный неприводимый множитель для многочлена f(x). Тогда он является k-1-кратным неприводимым множителем для его производной.
Доказательство. Возьмем производную f(x):
f’(x)=kpk-1(x) p'(x)f1(x)+p(x)kf1'(x) = pk-1(x)(k p'(x) f1(x)+ p(x) f1(x)).
Очевидно, что многочлен в скобках не делится на p(x), что и доказывает теорему.
Упражнение 1. Верно ли обратное утверждение? (вообще говоря, да)