Тема 3. Многочлены от одной переменной.

§1. Многочлены. Сложение и умножение многочленов.

Пусть Р- некоторое числовое поле, х — переменная, x⁰, х¹, х²…хⁿ-степени переменной.

Определение 1. Формальное выражение вида a_n*хⁿ+а_n-1*х^n-1+…+а₀ (1),

где а_n,…а₀Р называют многочленом над полем Р от переменной х, а_n,…а₀ — коэффициенты многочлена.

Если а_n0,то a_n*хⁿ называется старшим членом многочлена, а_n — старший коэффициент многочлена. n=deg (многочлена) — степень многочлена.

Множество многочленов над полем Р будем обозначать через Р[х], при этом многочлены будем обозначать так: f(x),g(x)…

В анализе обычно смотрят на многочлен как на функцию. Степень многочлена, у которого все коэффициенты равны нулю будем считать неопределенной. Иногда нулевому многочлену приписывают степень, равную -. Это бывает удобно и не приводит к противоречию. Часто бывает удобным записывать многочлен не по убывающим степеням x, а по возрастающим и применять другую нумерацию коэффициентов.

Определение 2. Два многочлена называют равными, если равны их коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях.

Замечание: для многочленов над числовым полем данное определение равенства многочленов совпадает с определением равенства многочленов, если на многочлен смотреть как на функцию.

Сложение многочленов:

f(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ

g(x)=b₀+b₁x+…+b_sx^s , sn

Под суммой многочленов f(x)+g(x) понимают многочлен

f(x)+g(x)=c₀+…+c_nxⁿ , где c_i=a_i+b_i.

Очевидно, что сложение многочленов коммутативно и ассоциативно, так как всё сводится к сложению элементов числового поля.

Определение 3. Под произведением многочленов f(x)*g(x) понимают многочлен f(x)*g(x)= d₀+…+d_n+sx^n+s, где .

Упражнение. Доказать, что произведение многочленов коммутативно и ассоциативно, а также дистрибутивно относительно сложения.

§2.Деление многочленов.

Лемма: Пусть f(x), g(x) Р[x] — многочлены; f(x) 0, g(x) 0.

Тогда deg f(x)* g(x)= deg f(x)+deg g(x).

◄Пусть f(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ , а_n0,

g(x)=b₀+b₁x+…+b_sx^s , b_s0

f(x)* g(x)=a_n*b_sx^n+s+…

Последнее и означает, что степень многочлена равна n+s.

deg f(x)* g(x)=n+s.►

Определение1. Пусть f(x), g(x)Р[х]. Будем говорить, что f(x) делит g(x) (обозначать f(x)g(x) ), если существует (х)Р[х] такое,что g(x)=f(x)*(х).

Простейшие свойства:

1)Если g(x) делит f_i(x), i=1..n, то g(x) делит .

2)Если f(x) / g(x)и g(x) / m(x), тогда f(x) / m(x).

3)Если f(x) / g(x)и g(x) / f(x), то f(x)=ag(x),где aР.

Докажем первое свойство:

◄ g(x) / f_i(x) следовательно  многочлен _i(х), что f_i(x) = g(x)_i(х), следовательно

Вынесем общий множитель g(x) за знак суммы. А это и означает, что g(x) делит сумму . ►

Второе свойство доказывается аналогично как и для чисел.

Докажем третье свойство:

◄ f(x) / g(x)g(x)=f(x)*m(x) (1)

g(x) / f(x)f(x)=g(x)*q(x) (2)

Подставим (2) в (1):

g(x)=g(x)*q(x)*m(x)g(x)*(q(x)*m(x)-1)=0q(x)*m(x)=1.

Из леммы следует, что степень q(x)= степени m(x)=0.

Иначе говоря, что q(x) и m(x) — это элементы поля P. А это и доказывает свойство 3.►

Теорема о делении с остатком: Пусть f(x), g(x)Р[х], g(x)0. Тогда существует единственная пара многочленов q(x), r(x)Р[х], такая, что f(x)=g(x)*q(x)+r(x), где степень r(x)<степени g(x)либо r(x)=0.

Доказательство. 1) случай: f=0,очевидно q=0, r=0; 2) случай: если степень f<степени g, то q=0 и r=f; 3)случай: ст. fст.g.

Пусть

f=a_n*xⁿ+…+a₀,

g=b_s*x^s+…+b₀.

Возьмем многочлен ₁=(a_n/b_s)*x^n-s . Рассмотрим f-g*₁=f₁. Если f₁=0, то в качестве r возьмём 0, в качестве q-₁, т.е. r=0; q=₁. Если ст. f₁ < ст.g , то в качестве r возьмем f₁ , а в качестве q - ₁. Если ст. f₁ ст.g, то берем

,

f – g_{1 =} f₁ ( ст.f₁ < ст.f ),

f – g_{2 =} f₂ ( ст.f₂ < ст.f₁ ). C f₂ рассуждаем аналогично как и с f₁. На

каком-то шаге мы получим, что многочлен f_k=0 либо его степень меньше степени g ( степени многочленов f_k все время уменьшаются ), где f_k-1 - g_k = f_k

f – g_{1 =} f₁ ( ст.f₁ < ст.f ) Сложим почленно

f₁ – g_{2 =} f₂ ( ст.f₂ < ст.f₁ ) (1) левые и правые части

………………………….. равенств:

f_k-1 – g_{k =} f_k

__________________________

Получим, что

f – g (₁ +…+_k ) = f_k и очевидно

q = ₁+…+_k ; r = f_k.

Этим мы доказали существование q и r.

f = g(₁+…+_k ) + f_k.

Докажем однозначность q и r. Доказывать будем методом от противного. Пусть наряду с разложением f = gq+r (2) имеет место разложение f = gq₁+r₁ (3). Вычтем из (2) равенство (3). Получим:

r – r₁ = g ( q₁ – q ).

Сравним степени многочленов слева и справа. Если r-r₁≠0, то степень r – r₁ < степени -g (q₁ – q ). А такого быть не может для равных многочленов. Мы пришли к противоречию. Однозначность доказана.►